Etudier les variations et représenter graphiquement une fonction


  • B

    bonjour à tous, j'ai un Dm pour lundi j'ai commencé car il a l'air raide, merci de corriger le début.

    On considère la suite UnU_nUn=0 et Un+1U_{n+1}Un+1 = $2U_{n $}+3/Un+3/U_n+3/Un+4
    Soit l l'intervalle[0;1], on considere la fonction par f(x)=2x+3/x+4
    a) etudier les variations de f et en déduire que pour toutx appartenant à l, f(x) appartient à l.

    ma réponse :soit x1x_{1 }x1 et x2x_2x2 des nombres réels verifiant 0≤x1x_1x1<x≤1,
    f(x2) -f(x1) = 2x2x2x2+3/x2+3/x_2+3/x2+4 - 2x12x_12x1 +3/x1+3/x_1+3/x1 +4 = 5x² −5x1-5x_15x1 / (x</em>2(x</em>{2 }(x</em>2+4) (x1(x_1(x1 +4)

    or 5x² −5x1-5x_15x1 > 0 car x1x_{1 }x1 > x2x_2x2
    et x2x_2x2 +4 >0 et x1x_1x1 +4 > 0
    car x1x_{1 }x1 ≥0et x2x_2x2 >0
    donc f ets strictement croissante sur [0;1]

    b) representer graphiquement f(x).
    Ca c'est bon

    c) en utilisant le graphique placer les points A0,A1,A2 et A3 d'ordonnées nulles et d'abscisses U0,U1, U2 et U3.

    Que suggere le graphique concernant le sens de variation de la suite Un et sa convergence ?

    ??????? pas compris, mais pas beaucoup de temps a chercher non plus. je vous ecris la suite de l'exo mais je n'y ai pas encore regardé vraiment je vous donnerai mes resultats au fur et à mesure que j'avance .

    2)On considère la suite Vn définie par
    VnV_nVn= UnU_nUn - 1 / UnU_nUn +3

    a) demontre que VnV_nVn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    b)en déduire la limite de la suite VnV_nVn
    c) exprimer Un en fonction de VnV_nVn
    d) en deduire la convergence de la suite UnU_nUn et sa limite.

    Merci pour votre aide, il me manque quelques souvenirs de 1ere. 😕


  • Zorro

    Bonjour,

    Pour comprendre comment on utilise la représentation graphique d'une fonction pour trouver les termes d'une suite, regarde ce sujet

    Il utilise une fonction f qui n'est pas forcément la même que la tienne mais cela donne la méthode.


  • Zorro

    Pour étudier les variations de f, il est plus simple de passer par le signe de f '(x) que de reveinr à la définition et aux calculs vus en seconde !

    De plus pour qu'on puisse t'aider, il faudrait mettre des () dans tes expressions parce qu'actuellement on ne sait pas vraiment ce qu'il faut que tu étudies.


  • B

    Zorro
    Pour étudier les variations de f, il est plus simple de passer par le signe de f '(x) que de reveinr à la définition et aux calculs vus en seconde !

    De plus pour qu'on puisse t'aider, il faudrait mettre des () dans tes expressions parce qu'actuellement on ne sait pas vraiment ce qu'il faut que tu étudies.

    bonsoir, j'ai repris en calculant la dérivée de f(x).
    f'(x)=[2(x+4)-2x-3][/(x+4)²]
    f'(x)=5/(x+4)²
    le discriminat est=0
    x0x_0x0=-b/2a
    x0x_0x0=4
    A est un point d'intersection avec l'axe des abscisses avec A(4;0)

    donc f(x) est strictement croissante sur [0;1].

    toujours pas vraiment convaincu de mon résultat..je poursuis quand meme.


  • Zorro

    On ne connait toujours pas l'expression correcte de f(x) !

    f(x) = 2x + (3/x) + 4 ? si on suit les règles de priorité des opérations on en arrive à ceci ! Est-ce vraiment la bonne expression ?


  • B

    Zorro
    On ne connait toujours pas l'expression correcte de f(x) !

    f(x) = 2x + (3/x) + 4 ? si on suit les règles de priorité des opérations on en arrive à ceci ! Est-ce vraiment la bonne expression ?

    excusez moi je ne suis pas au top pour les indices, latex et autres...et ce n'est pas ça du tout.
    f(x)=(2x+3)/(x+4)
    donc tous mes calculs doivent etre faux!

    aprés pour le graphique je trouve une droite passant par (0;0.75) et (1;1) dans l'intervalle [0;1]


  • B

    aucun de mes résultats ne sont cohérents,
    c) je pars de A0A_0A0=0

    AAA_1=f(u0=f(u_0=f(u0)=3/4

    en fait je retombe sur tous les points de ma droite f.

    rien de bien bon je pense


  • Zorro

    C'est un peu normal de retomber sur les points de la droite d'équation y = x ...........

    C'est le principe de cette méthode !

    Tu trouves donc

    http://img208.imageshack.us/img208/9867/suitecolimhl1.jpg


  • B

    super j'ai le meme graphique que vous.

    Pouvez vous remonter un peu et verifier ma dérivée avec l'enoncé et les bonnes parenthèses.


  • Zorro

    En effet f '(x) = 5 / (x+4)2(x+4)^2(x+4)2

    mais pas besoin de se compliquer la vie avec Δ !!!

    Quel est le signe de 5 ?
    Quel est le signe de (x+4)2(x+4)^2(x+4)2 quand x ≠ -4

    donc pour tout x de [0;1] quel est le signe de f '(x) ?


  • B

    1. VnV_nVn = (Un(U_n(Un - 1) /(Un/(U_n/(Un + 3)

    A) pour demontrer que (Vn(V_n(Vn) est géométrique et sa raison j'ai besoin de quelques rappel de 1ere. Je viens de lire les autres forum mais j'ai pas trouver d'explication tres concrete.

    un peu d'aide me serait utile.

    a) voilà ce que j'ai fait:
    VVV{n+1}=(U=(U=(U{n+1}−1)/(Un+1-1)/(U_{n+1}1)/(Un+1+3)

    =(2U=(2U=(2Un+3)/(Un+3)/(U_n+3)/(Un+4) + 3
    =(Un=(U_n=(Un-1 ) / 5Un5U_n5Un +15
    =1/5 VnV_nVn
    donc V</em>nV</em>{n }V</em>n est une suite géométrique de raison 1/5 et de 1er terme V0V_0V0= -1/3

    B) lim(Vlim(Vlim(V_n)=V)=V)=V_0qnq^nqn
    VVV_n=(−1/3)∗(1/5)n=(-1/3)*(1/5)^n=(1/3)(1/5)n
    donc
    lim=0

    c) pour exprimer UnU_nUn en fonction de VnV_nVn je rebloque.
    merci de votre aide.


  • Zorro

    D'un côté tu sais que VnV_nVn = (Un(U_n(Un - 1) /(Un/(U_n/(Un + 3)

    De l'autre tu sai que VnV_nVn = V0V_0V0 qnq^{n }qn

    Que peux-tu en conclure ?


  • B

    j'en conclue que :

    (u(u(u_n−1)/(Un-1)/(U_n1)/(Un+3) = VVV_0qnq^nqn

    soit.????????

    et our la convergence de la suite UnU_nUn ainsi que sa limite .à cette heure ci votre aide me serait precieuse..enorme......je commence à saturer!


  • Zorro

    Remplace

    V0V_0V0 par ???
    q par ???

    que cherches-tu ?


  • B

    V0V_0V0=-1/3

    et
    q=1/5
    donc

    (un-1)/(Un+3) = V0qn ⇒
    (un-1)/(Un+3) = -1/3 * 1/5n1/5^n1/5n


  • Zorro

    Désolée, cela démarre trop vite dans le match France Argentine ...

    Je te répondrai demain


  • B

    tout à fait d'accord j'ai la Tv a cote et on est mal barré............... à suivre bonne soiree.....allez les bleus.


  • B

    bon ben voilà la France a perdu son match d'ouverture contre l'Argentine.
    Mais bon moi j'en suis toujours à mon DM et je coince...


  • B

    benja

    V0V_0V0=-1/3

    et
    q=1/5
    donc

    (un-1)/(Un+3) = V0qn ⇒
    (un-1)/(Un+3) = -1/3 * 1/5n1/5^n1/5n

    C'est sa ou pas et pour le reste sa marche comment??

    Merci


  • J

    Salut.

    Si tes valeurs de V0V_0V0 et de q sont correctes, alors on a bien (U(U(U_n−1)/(Un-1)/(U_n1)/(Un+3) = −(1/3)∗(1/5)n-(1/3)*(1/5)^n(1/3)(1/5)n.

    Par conséquent UnU_nUn=(?). A partir de là la limite et la convergence devraient être simples à trouver. 😉

    @+


  • B

    bonsoir,

    alors on a :
    (un-1)/(Un+3) = VnV_nVn

    soit VnV_nVn = VVV_0qnq^nqn

    VnV_nVn=-(1/3)*(1/5)n.

    et comment je trouve UnU_nUn?? je n'arrive pas à trouver le facteur commun, alors la limite et la convergence ?????

    un peu d'aide serait la bienvenue.


  • J

    Salut.

    Grrr...

    Résout (U(U(U_n−1)/(Un-1)/(U_n1)/(Un+3) = −(1/3)∗(1/5)n-(1/3)*(1/5)^n(1/3)(1/5)n je t'ai dit.

    Si tu es face à l'équation (x-1)/(x+3) = −(1/3)∗(1/5)n-(1/3)*(1/5)^n(1/3)(1/5)n, tu en déduirais que x=(?).

    C'est pareil pour (Un(U_n(Un).

    @+


  • B

    Salut,

    (x-1)/(x+3) = -(1/3)*(1/5)n,

    donc UnU_nUn= (3Vn(3V_n(3Vn + 1) / ( 1 −Vn-V_nVn)

    Ok???
    par contre cela ne m'aide pas pour la limite et la convergence de UnU_nUn

    @+ merci pour votre patience.


  • J

    Salut.

    Je ne t'ai pas demandé de récrire VnV_nVn après.

    (U(U(U_n−1)/(Un-1)/(U_n1)/(Un+3) = −(1/3)∗(1/5)n-(1/3)*(1/5)^n(1/3)(1/5)n

    Par de là, et ne remplace plus rien. Tu devrais obtenir l'expression de (Un(U_n(Un) en fonction de n
    uniquement.

    Puis faire tendre n vers l'infini c'est pas dur ensuite.

    @+


  • B

    Jeet-chris
    Salut.

    Je ne t'ai pas demandé de récrire VnV_nVn après.

    (U(U(U_n−1)/(Un-1)/(U_n1)/(Un+3) = −(1/3)∗(1/5)n-(1/3)*(1/5)^n(1/3)(1/5)n

    Par de là, et ne remplace plus rien. Tu devrais obtenir l'expression de (Un(U_n(Un) en fonction de n
    uniquement.

    Puis faire tendre n vers l'infini c'est pas dur ensuite.

    @+

    désolé mais j'ai de gros problèmes ......je ne sais pas faire une equation avec exposant!!

    soit x=Unx=U_nx=Un

    (x-1) / (x+3) = −(1/3)∗(1/5)n-(1/3)*(1/5)^n(1/3)(1/5)n

    (x-1)/(x+3) = −1/15n-1/15^n1/15n

    (x−1)15n(x-1)15^n(x1)15n = -x-3

    alors x = −(3/4)n-(3/4)^n(3/4)n

    invraissemblable...

    merci de me donner le theorème ou le point de depart car je coince.


  • J

    Salut.

    D'où sort le 15n15^n15n ? Parce que 3∗5n3*5^n35n15n15^n15n.

    Sinon le calcul était bien mené. Juste que cette faute t'a conduit à un résultat faux. 😄

    Equation avec exposant... que ce soit 5 ou 5n5^n5n ça revient au même à la base. On veut x = quelque chose. Si c'était x puissance quelque chose là j'aurais appelé ça une équation avec exposant.

    @+


  • B

    Jeet-chris
    Salut.

    D'où sort le 15n15^n15n ? Parce que 3∗5n3*5^n35n15n15^n15n.

    Sinon le calcul était bien mené. Juste que cette faute t'a conduit à un résultat faux. 😄

    Equation avec exposant... que ce soit 5 ou 5n5^n5n ça revient au même à la base. On veut x = quelque chose. Si c'était x puissance quelque chose là j'aurais appelé ça une équation avec exposant.

    @+

    mon probleme est bien là je ne sais pas à quoi est égal 3∗5n3*5^n35n.


  • J

    Salut.

    Laisse-le comme ça, il est très bien comme il est. 😁

    @+


  • B

    si je laisse 5n5^n5n

    alors je trouve x = 3 + (3<em>5n(3<em>5^n(3<em>5n) / 2</em>5n2</em>5^n2</em>5n

    à ce moment la limite de UnU_nUn est +∞


  • J

    Salut.

    Faute de calcul.

    Ecris ton calcul pour que je regarde où est-ce que tu bloques.

    @+


  • B

    (x−1)(3∗5n(x-1)(3*5^n(x1)(35n) =x+3

    [ 3x<em>5n3x<em>5^n3x<em>5n - (3</em>5n(3</em>5^n(3</em>5n)] =x+3

    (2x5n(2x5^n(2x5n - (3∗5n(3*5^n(35n ) -3 = 0

    2x5n2x5^n2x5n = 3 + (3∗5n(3*5^n(35n)

    x = [3 + (3<em>5n(3<em>5^n(3<em>5n)] / 2</em>5n2</em>5^n2</em>5n

    cherchez l'horreur, SVP.


  • J

    Salut.

    Première ligne, tu as oublié le signe négatif devant le second membre. 😁

    @+


  • B

    benja

    (x−1)(3∗5n(x-1)(3*5^n(x1)(35n) =x+3

    [ 3x<em>5n3x<em>5^n3x<em>5n - (3</em>5n(3</em>5^n(3</em>5n)] =x+3

    (2x5n(2x5^n(2x5n - (3∗5n(3*5^n(35n ) -3 = 0

    2x5n2x5^n2x5n = 3 + (3∗5n(3*5^n(35n)

    x = [3 + (3<em>5n(3<em>5^n(3<em>5n)] / 2</em>5n2</em>5^n2</em>5n

    cherchez l'horreur, SVP.

    (x−1)(−3∗5n(x-1)(-3*5^n(x1)(35n) =x+3

    [- 3x<em>5n3x<em>5^n3x<em>5n + (3</em>5n(3</em>5^n(3</em>5n)] =x+3

    (−4x5n(-4x5^n(4x5n + (3∗5n(3*5^n(35n ) -3 = 0

    −4x5n-4x5^n4x5n = 3 - (3∗5n(3*5^n(35n)

    x = ( 3 ( 1 - 5n5^n5n)) / - 4 ∗5n*5^n5n


  • J

    Salut.

    Deuxième ligne à la troisième : −3x<em>5n-3x<em>5^n3x<em>5n-x ≠ −4x</em>5n-4x</em>5^n4x</em>5n.

    C'est le x que l'on met en facteur.

    @+


  • B

    Jeet-chris
    Salut.

    Deuxième ligne à la troisième : −3x<em>5n-3x<em>5^n3x<em>5n-x ≠ −4x</em>5n-4x</em>5^n4x</em>5n.

    C'est le x que l'on met en facteur.

    @+

    Ok, merci, je vais finir par y arriver, peut-être...

    (x-1)(-3*5n) =x+3

    [- 3x5n + (35n)] =x+3

    -x ( 3<em>5n3<em>5^n3<em>5n +1) +3</em>5n+3</em>5^n+3</em>5n -3 =0

    -x = [3 (1−5n(1-5^n(15n)] / 1+3∗5n1+3*5^n1+35n

    x = - [3 (1−5n(1-5^n(15n)] / 1+3∗5n1+3*5^n1+35n

    @+ merci d'avance

    Edit de J-C : il y avait un sub au lieu d'un sup qui modifiait l'affichage.


  • J

    Salut.

    Met bien toutes les parenthèse pour que le dénominateur ne soit pas ambigu.

    Bref on trouve bien que un=−3+3×5n1+3×5nu_n = \frac{-3+3\times5^n}{1+3\times5^n}un=1+3×5n3+3×5n 😄

    @+


  • B

    ouf...merci pour votre patience.

    j'en deduis que UnU_nUn converge vers l'infinie et que sa limite est +∞ pour tout n>0.


  • J

    Salut.

    Et bien pas moi, vu que c'est un cas indéterminé (+∞/+∞). Met 5∗3n5*3^n53n en facteur en haut et en bas, puis calcule les limites du numérateur et du dénominateur séparément. Tu comprendras que la limite réelle est loin d'être la tienne. 😉

    @+


  • B

    elle converge vers 1 et donc que la limite de Un est 1????


  • J

    Salut.

    Oui c'est bien ça ! 😄

    @+


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