Equa. diff. linéaire : problème de Cauchy

[zoombinis]

Bonjour voici un problème de Cauchy intéressant que j'ai à résoudre
n∈$mathbbZ$ x∈I
equa-diff : y' + xy = $x^n$ [1]
conditions intiales : y(1) = 1

Voilà mon travail :
x²/2 est une primitive de x sur I

[1] <=> y' $e^{x²/2}$ + $xy{e}^{x²/2}$ = $x$^n$e^{x²/2}$

Or,
$D[y{e}^{x²/2}$]=y' $e^{x²/2}$ + $xy{e}^{x²/2}$ (1er membre)
( D désigne dérivée p/r à x)
<=> $D[y{e}^{x²/2}$] = $x$^n$e^{x²/2}$

On note P(x,n) une primitive de $x$^n$e^{x²/2}$

$D[y{e}^{x²/2}$] = D [ P(x,n) ]
<=> ∃ λ ∈ $mathbbR$ tel que : $y{e}^{x²/2}$ = P(x,n) + λ
donc y(x) = P(x,$n)e^{-x²/2}$ + λ$e^{-x²/2}$

Voilà l'expression de y(x)
maintenant on peu trouver une valeur de λ qui satisfait les conditions initiales :
en effet,
y(1) = 1 <=> 1 = P(1,$n)e^{-1/2}$ + λ$e^{1/2}$
<=> λ = $e^{1/2}$ - P(1,n)

Voilà ça s'etait pour ce qui est fait, vous avez vu ? quasiment presque tout enfin il manque un petit détail : P(x,n)
En effet il faut maintenant trouver une primitive de :

$<strong>x$^n$e^{x²/2}$
selon les valeurs de n bien entendu ...

C'est tout ce qu'il me manque pour finir ce problème ...

Merci aux courageux mathématiciens qui se pencheront sur mon problème ^^

[zoombinis]

Quel imbécile, je me reposais sur mes loriers alors que je peux continuer à travailler.
Ce post m'a permis d'ecrire $e^x$ et non pas exp(x)
et ainsi remarquer :

$x$^n$e^{x²/2}$ = $e^{nln(x)+x²/2}$
Bon ben la primitive va de soi :

$p(x,n)=\frac{e^{(}nln(x)+\frac{x^2}{2})}{\frac{n}{x}+x}$
par contre l'accé à cette primitive est strictement reservée aux x > 0
Bon allez je vais aller continuer tout ça

[zoombinis]

Après calculs je trouve donc :

∀x ∈ $$mathbb{R}$*^+$ ; ∀n ∈ $mathbbZ$ \ {-1 ; -x² (lorsque celui ci ∈$mathbbZ$)}
$y(x)=\frac{exp(nln(x))}{\frac{n}{x}+x}+1-\frac{1}{n+1}$

Voilà je n'ose pas m'aventurer dans des x de $$mathbb{R}$^-$ et des n quelconques

Bel exercice et beau monologue ^^

[zoombinis]

Tout compte fait erreur erreur dans la primitive de $x$^n$e^{x²/2}$

à suivre...