exercice sur les suites



  • bonjour!

    j'ai un devoir maison à rendre sur les suites

    voici l'exercice :

    on considère la suite (Un) n∈N à termes positifs, telle que U0U_0=5
    u n+1_{n+1}=√(Un+12)

    1/Montrer que pour tout entier natureln, Un≥4ça j'ai fait

    2/on se propose, das cette question s'étudier de deux manières la convergence de cette suite

    a.première méthode

    montrer que la suite (Un) est décroissante. ça j'ai fait

    déduire de ce qui précède que la suite est convergente,trouver sa limite ça aussi c'est fait


    par contre la partie b 😕 😕 😕 là c'est la cata

    (1) Montrer que, pour tout entier naturel n :
    Un+1 -4≤1/4(Un-4)
    j'ai essayé plein de fois mais j'arrive à rien :rolling_eyes:

    (2) Montrer que, pour tout entier naturel n :
    0≤Un-4≤1/(4n1/(4^n)

    (3) En déduire que la suite converge et trouver sa limite

    j'espère que quelqu'un pourra m'aider
    merci d'avance


  • Modérateurs

    Salut,

    1. Comme je suppose que tu n'as pas encore fait les intégrales et l'inégalité de la moyenne, je te propose une technique pas très élégante mais qui devrait fonctionner.
      Dans ton inégalité, tu remplaces Un+1U_{n+1} par son expression en fonction de UnU_n, puis tu mets au carré pour te débarrasser de la racine carrée. (Il faudra au passage t'assurer du signe de chaque membre). Puis tu passes tout à gauche. L'inégalité proposée se ramène donc à l'étude du signe d'un trinôme du second degré (qui dépend de UnU_n toujours plus grand que 5).

    2. Un simple raisonnement par récurrence en te servant du résultat précédent.

    3. Théorème des gendarmes.



  • ok merci beaucoup!!!
    donc j'élève √(Un+12)-4≤1/4(Un-4) au carré?
    après je calcule et je résout avec le discriminant?
    j'arrive à -1/16Un²+3/2Un-5≤0 ???


  • Modérateurs

    Tu élèves √(Un+12)≤1/4(Un-4)+4 au carré sinon bonjour l'identité remarquable !



  • okay merci beaucoup!


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