Fonction exponentielle



  • bonjour, j'ai un devoir maison à rendre pour la rentrée sur les fonctions exponentielles, sauf que j'y arrive pas trop!

    Alors voici l'exercice :

    soit f la fonction définie sur R par

    f(x) = (2+cosx)e^(1-x)

    1-montrer que pour tout x de R : f(x)>0

    je sais pas trop comment m'y prendre, est ce que je dois trouver f'(x) et établir le tableau de variation de la fonction?

    **2-a) montrer que, pour tout x de R :

    √2cos(x-∏/4)=cosx+sin x**

    ça c'est fait

    **b)en déduire que, pour tout x de R :

    2+cosx+sinx>0**

    est ce que je dois m'aider de la question 1?

    c)montrer que f est strictement décroissante sur R

    faut-il faire avec la dérivée ou y a t'il une autre méthode?

    **3-a)montrer que pour tout x de R :

    e^(1-x)≤f(x) ≤3e^(1-x)**

    b)en déduire les limites en +∞ et -∞

    on fait à partir du théorème des gendarmes et de ce qu'on a montré à la question d'avant?

    4-a)montrer que, sur l'intervalle[0;∏], l'équation f(x)=3 admet une solution unique a

    on fait avec le théorème de la bijection

    b)donner un encadrement de a d'amplitude 10-²

    ça c'est pas trop compliqué


    merci d'avance pour votre aide


  • Modérateurs

    Salut.

    1. Il y a plus simple : l'exponentielle change-t-elle de signe ? Et en ce qui concerne 2+cos(x) ? Sachant que le produit de 2 nombres de même signe etc. 😄

    2.b) Non il suffit de déduire ce résultat de la question 2.a) vu que 2+cos(x)+sin (x) = 2+√2cos(x-∏/4).

    Entre quoi est quoi est compris cos(x-∏/4) ? Et donc √2cos(x-∏/4) ? Et par conséquent 2+√2cos(x-∏/4) ?

    2.c) Oui, en utilisant la dérivée tu vas pouvoir t'aider du résultat démontré en 2.b).

    3.b) C'est une très bonne idée. 😄

    4.a) Exactement. D'ailleurs une question : c'est le nouveau nom du théorème des valeurs intermédiaires ? Parce qu'à chaque fois que j'en parle personne ne semble connaitre. Merci.

    4.b) Alors je te fais confiance. 😁

    @+



  • Salut et merci pour ta réponse

    par contre, je comprend pas trop certaines choses

    pour la question 2-b), je comprend pas trop comment encadrer cos(x-∏/4) 😕

    pour 2-c), pour la dérivée, j'ai tenté de la calculer et j'ai trouvé ça :

    f'(x) =u'v+v'u avec u'=-sinx et v'=-e(-x+1)
    f'(x)=(-sin xe(1-x))+(-e(1-x)(2+cox))

    je sais pas si c'est bon, comment on peut simplifier ça?parce que là pour trouver le signe 😡

    pour 3-a)
    Citation
    montrer que pour tout x de R :

    e^(1-x)≤f(x) ≤3e^(1-x)

    je sais pas trop par où commencer 😲

    4-a) pour répondre à ta question, le théorème de la bijection correspond bien au théorème des valeurs intermédiaires

    merci d'avance


  • Modérateurs

    Salut.

    2.b) Ben un cosinus c'est toujours compris entre 1 et -1, non ?

    2.c) Factorise par e1x-e^{1-x}, et tu comprendras l'intérêt de la question précédente.

    3.a) Toujours pareil, il suffit d'encadrer 2+cos(x), puis tu multiplies par l'exponentielle et c'est fini.

    4.a) Merci. 😄

    @+



  • Salut

    ah ben oui je suis bête lol 😁

    en tous les cas merci beaucoup pour ton aide! 😄

    a+


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