Vecteurs et parallélogramme



  • Bonsoir,
    voilà, j'ai un exercie et pour être sur que j'ai bon, je vous demande votre avie, voici l'énoncé :

    On considère un parallélogramme ABCD de centre O
    Soitle milieu de [AB] et J le milieu de [AO]
    Soit K le point vérifiant DK=14DCDK=\frac{1}{4}DC

    1/Exprimez JKJKen fonction de ADAD

    2/Exprimez IOIOen fonction de BCBC

    3/Montrez que les droites (JK)(JK) et (IO)(IO) sont parallèles.

    Voilà ce que j'ai fait :

    1/
    JK=JA+AD+DK  JK=12OA+AD+14DC  JK=12OA+AD+14(DA+AC)  JK=12OA+AD+14DA+14AC  JK=14CA+AD14AD+14AC  JK=(1414)CA+(414)AD  JK=34ADJK=JA+AD+DK\ \ JK=\frac{1}{2}OA+AD+\frac{1}{4}DC\ \ JK=\frac{1}{2}OA+AD+\frac{1}{4}(DA+AC)\ \ JK=\frac{1}{2}OA+AD+\frac{1}{4}DA+\frac{1}{4}AC\ \ JK=\frac{1}{4}CA+AD-\frac{1}{4}AD+\frac{1}{4}AC\ \ JK=(\frac{1}{4}-\frac{1}{4})CA+(\frac{4-1}{4})AD\ \ JK=\frac{3}{4}AD

    2/
    IO=IB+BC+CO  IO=12AB+BC+12CA  IO=12AB+BC+12(CB+BA)  IO=12AB+BC+12CB+12BA  IO=12AB+BC12BC12AB  IO=(1212)AB+(212)BC  IO=12BCIO=IB+BC+CO\ \ IO=\frac{1}{2}AB+BC+\frac{1}{2}CA\ \ IO=\frac{1}{2}AB+BC+\frac{1}{2}(CB+BA)\ \ IO=\frac{1}{2}AB+BC+\frac{1}{2}CB+\frac{1}{2}BA\ \ IO=\frac{1}{2}AB+BC-\frac{1}{2}BC-\frac{1}{2}AB\ \ IO=(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})AB+(\frac{2-1}{2})BC\ \ IO=\frac{1}{2}BC

    3/Il s'agit d'un parallèlogramme donc AD=BCAD=BC donc JK=34AD=34BCJK=\frac{3}{4}AD=\frac{3}{4}BC

    soit JK=34BCetIO=12BCJK=\frac{3}{4}BC et IO=\frac{1}{2}BC
    JK=k(IO)soitJK=32(12BC)JK=k(IO) soit JK=\frac{3}{2}(\frac{1}{2}BC)
    Donc les droites sont colinéaires.


  • Modérateurs

    C'est bon !!!



  • Oh merci, ah je suis trop fier de moi xD


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