Trigonométrie



  • bjr a tous
    voila j'ai une exercice mais il y a des question que j'arrive pas
    comme la 2eme la 4eme et donc la 5 qui decoule de la 4

    1. Résoudre dans R l'equation cos 3x = cos 4x
    2. exprimer cos 4x et cos 3x en fonctin de cos x
    3. En posnat X = cos x monter que l'équation (E) est équivalente a l'equation (F) 8X^4-4X^3-8X^2+3X+1=0
    4. En deduire des solution de (F)
      5.En deduire les egalités:
      cos2pi/7cos4pi/7cos6pi/7=1/8
      et cos2pi/7+cos4pi/7+cos6pi/7=-1/2

  • Modérateurs

    Salut.

    Je te conseille de réécrire les calculs sur une feuille. Ce sera plus clair.

    2. Exprimer cos(4x) et cos(3x) en fonction de cos(x)

    Premièrement, je rappelle quelques formules de trigonométries à connaître par coeur.

    cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) (1)
    sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) (2)
    cos²(x)+sin²(x)=1 (3)

    Commençons:

    cos(3x)=cos(x+2x)

    J'applique (1):
    cos(3x)=cos(x)cos(2x)-sin(x)sin(2x)

    cos(3x)=cos(x)(2cos²(x)-1)-sin(x)(2cos(x)sin(x)) => Voir plus bas
    cos(3x)=2cos³(x)-cos(x)-2cos(x)sin²(x) => Voir plus bas

    J'applique (3):
    cos(3x)=2cos³(x)-cos(x)-2cos(x)*(1-cos²(x))

    D'où cos(3x)=4cos³(x)-3cos(x)

    Je te laisse faire le cos(4x).

    Mentions "Voir plus bas":

    J'ai appliqué des conséquences des 3 premières formules:

    cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

    Pour a=b:
    cos(2a)=cos(a)cos(a)-sin(a)sin(a)
    cos(2a)=cos²(a)-sin²(a)

    Or, de la formule (3), sin²(a)=1-cos²(a).

    Donc cos(2a)=cos²(a)-(1-cos²(a))=2cos²(a)-1

    sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

    Pour a=b:
    sin(2a)=sin(a)cos(a)+sin(a)cos(a)
    sin(2a)=2sin(a)cos(a)


    4. En deduire des solutions de (F) 8X8X^44X-4X^38X2-8X^2+3X+1=0 :

    Un indice: maintenant que tu as calculé cos(4x) et cos(3x) en fonction de cos(x), tu vas pouvoir faire le rapprochement entre les solutions de la 1ère question et celles de (F).

    @+


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