Résoudre des équations trigonométriques


  • S

    bjr a tous
    voila j'ai une exercice mais il y a des question que j'arrive pas
    comme la 2eme la 4eme et donc la 5 qui decoule de la 4

    1. Résoudre dans R l'equation cos 3x = cos 4x
    2. exprimer cos 4x et cos 3x en fonctin de cos x
    3. En posnat X = cos x monter que l'équation (E) est équivalente a l'equation (F) 8X^4-4X^3-8X^2+3X+1=0
    4. En deduire des solution de (F)
      5.En deduire les egalités:
      cos2pi/7cos4pi/7cos6pi/7=1/8
      et cos2pi/7+cos4pi/7+cos6pi/7=-1/2

  • J

    Salut.

    Je te conseille de réécrire les calculs sur une feuille. Ce sera plus clair.

    2. Exprimer cos(4x) et cos(3x) en fonction de cos(x)

    Premièrement, je rappelle quelques formules de trigonométries à connaître par coeur.

    cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) (1)
    sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) (2)
    cos²(x)+sin²(x)=1 (3)

    Commençons:

    cos(3x)=cos(x+2x)

    J'applique (1):
    cos(3x)=cos(x)cos(2x)-sin(x)sin(2x)

    cos(3x)=cos(x)(2cos²(x)-1)-sin(x)(2cos(x)sin(x)) => Voir plus bas
    cos(3x)=2cos³(x)-cos(x)-2cos(x)sin²(x) => Voir plus bas

    J'applique (3):
    cos(3x)=2cos³(x)-cos(x)-2cos(x)*(1-cos²(x))

    D'où cos(3x)=4cos³(x)-3cos(x)

    Je te laisse faire le cos(4x).

    Mentions "Voir plus bas":

    J'ai appliqué des conséquences des 3 premières formules:

    cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

    Pour a=b:
    cos(2a)=cos(a)cos(a)-sin(a)sin(a)
    cos(2a)=cos²(a)-sin²(a)

    Or, de la formule (3), sin²(a)=1-cos²(a).

    Donc cos(2a)=cos²(a)-(1-cos²(a))=2cos²(a)-1

    sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

    Pour a=b:
    sin(2a)=sin(a)cos(a)+sin(a)cos(a)
    sin(2a)=2sin(a)cos(a)


    4. En deduire des solutions de (F) 8X8X8X^4−4X-4X4X^3−8X2-8X^28X2+3X+1=0 :

    Un indice: maintenant que tu as calculé cos(4x) et cos(3x) en fonction de cos(x), tu vas pouvoir faire le rapprochement entre les solutions de la 1ère question et celles de (F).

    @+


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