Etude d'une fonction exponentielle



  • Bonjour,
    J’ai une étude fonction à faire avec des questions préliminaires. Pour aller plus vite et vous faciliter la tâche j’ai fait un petit récapitulatif des questions précédentes. Ci-après les questions sur lesquelles je bloque malgré tout…J’espère que vous pourrez m’aider à les résoudre.

    Soit k un réel tel que 0<k<e
    Soit la fonction gk(x)=(e^x –k)/(e^x –kx)
    lim (gk(x)) en +∞ =1 et lim(gk(x)) en –∞=0
    La dérivé est égale à gk’(x)=kf(x)÷ ((e^x –kx)²)
    f(x)= (2-x)e^x –k cette fonction est croissante sur]-infini ; e-k] et décroissante sur [e-k ;+infini[.Elle admet un maximum en x=e-k
    L’équation f(x)=0 a 2solutions une sur]-infini ; 1appelée [Ak
    Une autre sur]1 ; +infini [appelée Bk
    Gk’(x) est décroissante sur ]-infini ; Ak]u[Bk ;+infini[
    Croissante sur [Ak ;Bk]
    On donne k=2 on a alors 1.5< Bk<1.6
    On donne également gk(Ak)=1/(Ak-1)
    Soit Mk et Nk les points de la courbe d’abscisses respectives Ak et Bk

    1)Déduire de gk(Ak)=1/(Ak-1) ,lorsque k varie que,les points Mk et Nk sont sur une courbe fixe H dont on donnera l’équation.
    2)Déterminer la position relative des courbes C1 gk(x)= (e^x –k)/(e^x –kx)
    C2 u(x)=e^x –kx
    On a prouvé auparavant ∃ x : e^x –kx>0 et que u(x) est décroissante sur ]-infini ;ln(k)] et croissante sur [ln(k) :+infini[
    3)Prouver que Ak=0 quand k=2

    Pour1 la 1 je n’ai pas la moindre idée de comment faire 😕
    Pour la 2 j’ai essayé de soustraire entre elles les courbes pour voir le signe mais j’obtiens des résultats in simplifiables.
    La 3 je pensais faire un produit de racines =c/a mais ça ne marche pas

    Je vous remercie d’avance pour votre aide.
    Cordialement.


 

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