Démontrer des égalités avec suites par récurrence

Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercie, si quelqu'un peut m'aider, ce serait vraiment gentil ...

-Soit la suite (Fn) définie par
F(0)=1
F(1)=1
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
1/ Démontrer par récurrence que F(n)*F(n+2) = [F(n+1)]² + (-1)^n

Enfait aprés mes calculs, j'arrive (pour l'hérédité) à : F(n+1)F(n+3) = F(n+1)[F(n+2)-F(n)-F(n+1)] - (-1)^n
Et je n'arrive pas à terminer, pour montrer l'hérédité, il faut que je monter que F(n+1)*F(n+3) = [F(n+2)]² + (-1)^n+1, non ?
Aidez-moi s'il vous plait !!!

-Soit trois suites (Rn), (Un) et (Vn) définies par :
Rn= [F(n+1)]/[F(n)]
Un=R(2n)
Vn=R(2n+1)
1/ Déterminer une écriture fractionnaire de R(n+1) - R(n)
2/En déduire que R(n+2) - R(n) = [(-1)^n]/[F(n)*F(n+2)]

Pour la 1 j'ai remplacer R(n+1) par [F(n+2)]/[F(n+1)], Est-ce juste ?
Car a la fin de mes calculs j'arrive à R(n+1) - R(n) = [F(n+2)*F(n) - [F(n+1)]²]/[F(n)*F(n+1)]
Et donc R(n+2) - R(n) = [F(n+3)*F(n) - [F(n+1)]²]/[F(n)*F(n+2)] Ce qui est faux puisque l'on doit trouver (d'aprés les données) :

R(n+2) - R(n) = [F(n+2)*F(n) - [F(n+1)]²]/[F(n)*F(n+2)]
R(n+2) - R(n) = [(-1)^n]/[F(n)*F(n+2)]

Donc j'aimerai savoir où est l'erreur s'il vous plait, ou que vous me disiez comment je dois faire si ce que j'ai fait est faux !

Merci d'avance pour votre aide !