équation différentielle !!


  • B

    Salut, voilà je bloc sur un exercice sur des équations différentielles. Pouvez m'aider s'il vous plait !!! 😄

    λ désigne un réel de l'intervalle ]o;1]
    1°) on se propose d'étudier les fonctions dérivables sur ] - ∞ ; 1/2 [ vérifiant l'équation différentielle (Eλ) : y' = y² + λy et la condition y(0)=1.
    On suppose qu'il existe une solution y(0) de (Eλ) strictement positive sur
    ] - ∞ ; 1/2 [ et on pose sur ] - ∞ ; 1/2 [ : z= 1/y(0)
    Ecrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z.

    2°) Près-requis: Les solutions de l'équation différentielle y' = -λ y sont les fonctions f telles que f(x) = C e ^ (-λx) , où C est une constante réelle.

    a) Démontrer l'existence et l'unicité de la solution z de l'équation différentielle : (E'λ) : z'= -(λz+1) telle que z(o)=1

    b)Donner l'expression de cette fonction que l'on notera z0 (0 est en indice)

    On veut montrer maitenant que la fonction z0 ne s'annule pas sur l'intervalle
    ] - ∞ ; 1/2 [


  • B

    j'ai enfin réusit la question 1) on la fait avec un amis en étude aujourd'hui 😄 !

    on sait que z est dérivable sur ] - ∞ ; 1/2 [
    z= 1/y(0) donc z' = − y'0/ y²0
    DE plus y0 est solution de (E) donc y'0= y²0 + λy
    donc on obtien en remplacent y0
    -(y0² + λy0)/y²0
    -y0 ( y0 + λ)/ y²0

    • y0 - λ / y0
      -1 - λ x (1/y0)
      Donc on a -1 -λz est une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z

  • E

    J'ai trouvé la même chose. Par contre.. l'exercice tu l'as pas mis en entier si ? Parce que si tu ne l'as pas mis en entier, j'veux bien que tu m'donnes une piste pour le 3/a)
    Merci d'avance


  • B

    Là 3. a. c'est Démontrer que ln(1 + λ ) > λ / λ + 1

    Il faut que tu étudi la fonction f(x) = ln(1 + x ) − x / x + 1
    fait sa dérivé puis étudi le signe de la dérivée , tu en conclut le sens de varition de f et son signe .
    voila si tu veut plus de détaille nésite pas j'ai réussit l'exo en entier je pense qu'il est bon 😄


  • E

    Oui mais une fois que j'ai fait la dérivée et que je sais le sens de variations de f et son signe, comment est ce que j'en déduis que
    ln(1+ λ) > λ / λ + 1 .. ?
    Encore merci basketflorian


  • Thierry
    Modérateurs

    Salut,

    eh ... bien que te dire ... c'est immédiat :

    f(x) = ln(1 + x ) − x / (x + 1) > 0 ⇔ ln(1 + x ) > x / (x + 1)


  • B

    Thierry ta donné la réponse 😄


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