Derrivation de fonctions, application à l'économie, problème sur mon exercice.

Bonjour, voici mon sujet :

Le cout total de production d'un produit est donné par : C(q)=q^3-12q²+72q
q est la quantité produite en tonnes : q appartient [ 0 ; 8] pour un mois.
C(q) est exprimé en millier d'auros. C'(q) est le cout marginal.

1/ Etude du cout marginal : * Exprimer C'(q) en fonction de q pour q appartient [ 0 ; 8 ]

Etudier les variations du cout marginal et en déduire le signe de C'(q)
Que peut-on en déduire pour le cout total?
2/ Etude du cout moyen Cm(q) : ( cout moyen d'UNE tonne de produit )
Exprimer Cm(q) en fonction de q pour q appartient ] 0 ; 8 ]
Eutdier les variations du cout moyen sur ] 0 ; 8 ]
3/ Lien entre couts marginal et moyen :
Résoudre 3q²-24q+72 = q2-12q+72
Dans un repère bien choisi, représenter les courbes C1 et C2 des couts marginal et moyen. Interpréter le graphique et les questions précédentes.
D'après le graphique, pour quelles productions le cout marginal est il superieur au cout moyen?
4/ Etude du bénéfice : toute la production mensuelle est vendue au prix de 38000 euros la tonne à un seul distributeur.
Exprimer la recette mensuelle R(q) en milliers d'Euros en fonction de q, puis le bénéfice B(q) en fonction de Q. ( q appartient [ 0 ; 8 ] )
Représenter dans un repère bien choisi la recette R(q) et le cout total C(q). Lire graphiquement la zone de production mensuelle où l'on réalise un bénéfice ( B(q) positif ) Expliquer
Etudier le bénéfice B(q) pour savoir pour quelle production il est maximal.

Voila, simplement, pour des problèmes personnels ( familiales ), je n'ai pas put assister aux cours concernant cette leçon. Pouvez vous m'aider?

Merci

Bonjour,
Quelles questions as-tu déjà traitées ?
Qu'as-tu trouvé ?

Bah la ma questionserait plus, quelles sont les formules qui existe sur ce cour, qui pourrait me permettre de résoudre cet exercice.

Tu dois simplement étudier des fonctions classiques, donner leur sens de variation, ...
C'est comme si tu avais x à la place de q.
On te donne C(q). Calcule C'(q) : sa dérivée.C'est d'ailleurs ce qu'on te demande.

Ok
C'(q) = 3q²-24q+72

Delta=(-24)²-4372
Delta=576-864
Delta= -288

Delta est négatif donc pas de racine.

Pas de racine pour C'(q) : d'accord. Mais on te demande les variations de C'(q) et son signe : tu peux déjà répondre pour le signe puisque C'(q) n'a pas de racine.

Bah le signe c'est signe de a, donc positif. Donc C'(q) est constement croissant.

Non : C'(q) est constamment positif , mais il n'est pas constamment croissant ( c'est C(q) qui l'est ).
En fait on te demande deux choses :

les variations et le signe de C'(q)
les variations de C(q) .
Mais il est vrai que tu as seulement besoin du signe de C'(q) pour en déduire les variations de C(q). Cela, c'est fait.
Néanmoins, étudie aussi les variations de C'(q) : il se peut que tu en aies besoin dans les autres questions.

C' (q) passe par un minimum car le "a" est positif , minimum donné par -b/2a soit 24/6=4.

Donc pour q[0;4] : C' décroît

Et pour q[4;8] : C' croît.

Oui, n'oublie pas le signe d'appartenance : q appartient à [0;4] ...
Tu peux passer à la question 2.

Oui mais j'ai pas le signe son mon clavier alors pour aller plus vite je le emt pas sur pc... mais a l'écris si...

Alors par quelle formule calcul t-on le cout moyen? ( je n'ai pas ssister au cour contre ma volonté )

Regarde dans un livre. Je crois que c'est C(q)/q. Mais vérifie.

Ok

Cm(q)=C(q)/q=q²-12q+72

Expression du second degré dont le coeff de q² est > 0 , donc qui passe par un minimum pour -b/2a= 12/2=6.

Pour q[0;6] : Cm(q) décroît.

Pour q[6;8] : Cm(q) croît.

C'est presque juste. Attention que pour Cm(q) , q≠0. Donc le premier intervalle est ]0;6] , pas [0;6].
Passe à la question suivante.

3q²-24q+72 = q2-12q+72

Donc
2q²-12q=0
2q(q-6)=0

Donc q=0 et q=6

Les courbes C1 et C2 ont donc 2 points communs pour q=0 et q=6.

Coût marginal > coût moyen là où C1 est au-dessus de C2.

Attention : Pour Cm(q) , q est
non nul. D'ailleurs l'énoncé précise bien que Cm est défini sur ]0;8] .
Donc la valeur 0 est à exclure. La seule solution à garder est 6.

Ah je me fait avoir a chaque fois avec ca!

Citation
Coût marginal > coût moyen là où C1 est au-dessus de C2.Donc pour quelles valeurs de q ?

4/ La production est vendue 38 milliers d'euros donc la recette est :

R(q)=38q.

B(q)=R(q)-C(q)=38q-(q^3-12q²+72q)

B(q)=-q^3+12q²-34q

B '(q)=-3q²+24q-34

D=24²-4*(-3)*(-34)
D=576-408
D=168

X1=-24+12.96/-6
X1=1.84

X2=-24-12.96/-6
X2=6.16

2 racines en valeurs arrondies : q1=1.8 et q2=6.16

Comme B'(q) a un coeff de q² négatif, alors B '(q) est positif entre les racines et négatif à l'extérieur des racines.

Donc pour q[0;1.8] U [6.16;8] : B(q) décroît.

Et pour q[1.8;6.16] : B'(q) croît.

B (q) est donc max pour q=6.16t (valeur arrondie).

Valeur de q=6

Citation
Valeur de q=6Non : ce n'est pas une seule valeur mais un intervalle.
Citation
X1=-24+12.96/-6
X1=1.84

X2=-24-12.96/-6
X2=6.16

2 racines en valeurs arrondies : q1=1.8 et q2=6.16

N'écris pas "=" pour des valeurs approchées : utlise le symbole "≈ "

Alors c'est l'intervalle ]0 ; 6].
Et oui je sais mais je n'ai pas le symbole sur mon clavier...

Sinon c'est bon?

Ca me paraît juste.

Oki lol aller plus qu'un exercice je vais regarder et si j'ai besoin d'aide je le mettrai sur le forum.

Merci beaucoup.
A+

De rien.