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@medou-coulibaly
Pour montrer que la série de Fourier Sf(x)S_f(x)Sf(x) converge simplement vers f(x)=xf(x) = xf(x)=x pour x∈]−π,π[x \in ] -\pi, \pi[x∈]−π,π[, on utilise le fait quelle fonction fff est une fonction 2π-périodique définie par f(x)=xf(x) = xf(x)=x sur l'intervalle ]−π,π[] -\pi, \pi[ ]−π,π[.
La série de Fourier de f(x)=xf(x) = xf(x)=x est : Sf(x)=∑n=1∞bnsin(nx)S_f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)Sf(x)=∑n=1∞bnsin(nx)
avec : bn=2(−1)n−1nb_n = \frac{2(-1)^{n-1}}{n}bn=n2(−1)n−1
Ainsi, la série de Fourier : Sf(x)=∑n=1∞2(−1)n−1nsin(nx)S_f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}}{n} \sin(nx)Sf(x)=∑n=1∞n2(−1)n−1sin(nx)
Pour montrer que Sf(x)S_f(x)Sf(x) converge simplement vers f(x)=xf(x) = xf(x)=x pour x∈]−π,π[x \in ] -\pi, \pi[x∈]−π,π[, on utilise la propriété que la série de Fourier d'une fonction continue et périodique converge vers la fonction elle-même presque partout, et converge uniformément sur tout intervalle où la fonction est continue.
or La fonction f(x)=xf(x) = xf(x)=x est continue sur l'intervalle ]−π,π[] -\pi, \pi[]−π,π[.
En utilisant le théorème de Dirichlet, une série de Fourier converge simplement vers f(x)f(x)f(x) à chaque point où f(x)f(x)f(x) est continue.
donc comme f(x)f(x)f(x) est continue sur l'intervalle ]−π,π[] -\pi, \pi[]−π,π[, on conclut que :
Sf(x)→f(x)=xpour tout x∈]−π,π[S_f(x) \to f(x) = x \quad \text{pour tout } x \in ] -\pi, \pi[Sf(x)→f(x)=xpour tout x∈]−π,π[.
