Bonjour Panther et Noemi,
Un petit plus, si nécessaire.
Panther, Il aurait été plus clair de rester sur ton topic initial.
Si j'ai bien lu
dgdx=y(1−2x2)e−(x2+y2)\frac{dg}{dx}=y(1-2x^2)e^{-(x^2+y^2)}dxdg=y(1−2x2)e−(x2+y2)
dgdy=x(1−2y2)e−(x2+y2)\frac{dg}{dy}=x(1-2y^2)e^{-(x^2+y^2)}dydg=x(1−2y2)e−(x2+y2)
On doit résoudre ici le système
y(1−2x2)e−(x2+y2)=0y(1-2x^2)e^{-(x^2+y^2)}=0y(1−2x2)e−(x2+y2)=0
x(1−2y2)e−(x2+y2)=0x(1-2y^2)e^{-(x^2+y^2)}=0x(1−2y2)e−(x2+y2)=0
Pour tout couple (x,y) de R², e−(x2+y2)>0e^{-(x^2+y^2)} \gt 0e−(x2+y2)>0
Le système se ramène à
y(1−2x2)=0y(1-2x^2)=0y(1−2x2)=0 équation (2)
x(1−2y2)=0x(1-2y^2)=0x(1−2y2)=0 équation (1)
l'équation (1) équivaut à x=0 ou y2=12y^2=\frac{1}{2}y2=21 c'est à dire :
x=0x=0x=0 ou y=−22y=-\frac{\sqrt 2}{2}y=−22
ou y=22y=\frac{\sqrt 2}{2}y=22
Substitutions dans l'équation (2)
1er cas :
x=0 => y[1-2(0²)]=0 c'est à dire y=0 couple (0,0) solution
2ème cas :
y=−22y=-\frac{\sqrt{2}}{2}y=−22
=> −−22(1−2x2)=0-\frac{-\sqrt 2}{2}(1-2x^2)=0−2−2
(1−2x2)=0
x2=12x^2=\frac{1}{2}x2=21 c'est à dire x=22x=\frac{\sqrt 2}{2}x=22
ou x=−22x=-\frac{\sqrt 2}{2}x=−22
Couples solutions
(22,−22)(\frac{\sqrt 2}{2},-\frac{\sqrt 2}{2})(22
,−22
) et (−22,−−22)(-\frac{\sqrt 2}{2},-\frac{-\sqrt 2}{2})(−22
,−2−2
)
3ème cas :
y=22y=\frac{\sqrt{2}}{2}y=22
=> ... même principe
Sauf erreur, on trouve deux nouveaux couples solutions
(22,22)(\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 2}{2})(22
,22
) et (−22,22)(-\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 2}{2})(−22
,22
)
Il y a donc au total 5 couples (x,y) solutions.
Bons calculs .
