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@Donassi-soungari-Soro
Question 2.
Pour trouver la bande passante, il faut calculer la transformée de Fourier du signal x(t)=e2tu(−t)x(t)=e^{2t} u(-t)x(t)=e2tu(−t)
X(ω)=∫−∞0e2te−jωtdtX(\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{2t} e^{-j\omega t} dtX(ω)=∫−∞0e2te−jωtdt
X(ω)=∫−∞0e(2−jω)tdtX(\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{(2 - j\omega)t} dtX(ω)=∫−∞0e(2−jω)tdt
X(ω)=[e(2−jω)t2−jω]−∞0=12−jωX(\omega) = \left[ \dfrac{e^{(2 - j\omega)t}}{2 - j\omega} \right]_{-\infty}^{0} = \dfrac{1}{2 - j\omega}X(ω)=[2−jωe(2−jω)t]−∞0=2−jω1
Pour déterminer l'énergie spectrale, il faut calculer :
∣X(ω)∣2|X(\omega)|^2 ∣X(ω)∣2 :
∣X(ω)∣2=1∣2−jω∣2=14+ω2|X(\omega)|^2 = \dfrac{1}{|2 - j\omega|^2} = \dfrac{1}{4 + \omega^2}∣X(ω)∣2=∣2−jω∣21=4+ω21
Pour déterminer 95% de l'énergie spectrale :
∫0B∣X(ω)∣2dω=0,95×E=0,954\int_{0}^{B} |X(\omega)|^2 d\omega = 0,95 \times E=\dfrac{0,95}{4}∫0B∣X(ω)∣2dω=0,95×E=40,95
Soit à résoudre : ∫0B14+ω2dω=0,954\int_{0}^{B} \dfrac{1}{4 + \omega^2} d\omega = \dfrac{0,95}{4}∫0B4+ω21dω=40,95
Or ∫0B14+ω2dω=[12tan−1(ω2)]0B=12(tan−1(B2)−tan−1(0))=12tan−1(B2)\int_{0}^{B} \dfrac{1}{4 + \omega^2} d\omega =[ \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{2}\right) ]_{0}^{B} = \frac{1}{2} \left( \tan^{-1}\left(\frac{B}{2}\right) - \tan^{-1}(0) \right) = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{B}{2}\right)∫0B4+ω21dω=[21tan−1(2ω)]0B=21(tan−1(2B)−tan−1(0))=21tan−1(2B)
Donc
12tan−1(B2)=0,954\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{B}{2}\right) = \frac{0,95}{4}21tan−1(2B)=40,95
tan−1(B2)=0,952\tan^{-1}\left(\frac{B}{2}\right) = \frac{0,95}{2}tan−1(2B)=20,95
Puis
B2=tan(0,952)\frac{B}{2} = \tan\left(\frac{0,95}{2}\right)2B=tan(20,95)
B=2tan(0,952)=2tan(0,475)B = 2 \tan\left(\frac{0,95}{2}\right)=2tan(0,475)B=2tan(20,95)=2tan(0,475)
Calcul à vérifier et à comprendre.
