trace transposée de matrice et produit scalaire

Bonjour, je dois montrer que avec tr la trace et t la transposée d'une matrice, la forme biliénaire
(A|B) = tr(t(A)B) est un produit scalaire.
j'ai reussi à montrer que cette forme est bilinéaire et symétrique mais je n'arrive pas à montrer la positivité et la définition de cette forme. Pourriez vous me mettre sur la piste? Merci d'avance

Salut.

Je suppose que tu parles du produit scalaire réel. C'est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Chaque mot doit être démontré. Celui qui est souvent oublié, comme tu l'as fait, c'est la "forme".

forme : la trace est à valeur dans lR, donc c'est bien une forme.
bilinéaire : tu l'as fait.
symétrique : tu l'as fait.

On s'attaque à la fin maintenant. On va commencer par la positivité, parce que dès que tu as compris la démonstration, la définition se fait dans la foulée.

positive : il faut montrer que pour toute matrice réelle A, (A|A) ≥ 0 (d'où l'importance de la forme, si on n'était pas dans lR mais dans C on n'aurait pas de relation d'ordre, donc pas de ≥). Pour répondre à cette question, je te propose de t'intéresser à ce qu'il y a sur la diagonale de $taa\text {}^taa$ . Pour t'aider, je te fais remarquer que multiplier deux matrices entre-elles revient à effectuer pleins de produits scalaires classiques (vecteur ligne | vecteur colonne). Si tu vois dans notre cas ce que sont les lignes et les colonnes, tu devrais y arriver.
définie : ben là c'est simple, vu que tu as des produits scalaires assez spéciaux sur la diagonale, tu en déduis que la trace n'as qu'une seule façon de s'annuler vue que l'on a des vecteurs réels.

@+

dsl de m'introduire dans le sujet pour ne pas répondre, mais c'est vachement interessant ce que tu dis, personnellement on m'a jamais demandé de démontrer qu'il s'agissait d'une forme, j'ai toujours pensé que forme allait avec la terminologie "bilinéaire".
On dit qu'une application est une "forme" si elle est à valeurs dans IR?
Il y a des applications bilinéaires qui ne sont pas des formes?
On s'est fait entuber d'une définition , ils auraient mieux fait de nous expliquer tout de suite la signification de tout les mots, j'aurai terminé ma licence, que je n'aurais encore pas su ce qu'etait qu'une forme...

d'ailleurs je feuillette mon bouquin L2 d'algèbre, effectivement on définit une forme bilinéaire comme étant une application B:E×E→IR qui vérifie les propriétées de bilinéarité(que je ne retape pas) mais il ne parle pas du fait d'être une forme...
c'est nul...

Salut.

Je te renvoie à la définition de Wikipédia dans l'article sur les formes bilinéaires. Rubrique 2.1) Définitions générales.

Wikipédia
Une forme désigne en mathématiques une application d'un espace vectoriel dans son corps de nombre (le corps de nombre désigne l'ensemble des nombres définissant la multiplication externe des vecteurs, en général ce sont les nombres réels ou complexes). Une forme bilinéaire est une application définie sur un couple de vecteurs x et y, son espace de départ est le produit cartésien de deux espaces vectoriels E et F ayant le même corps de nombres. Lorsque E et F désignent le même ensemble, on parle de forme bilinéaire sur E. (x|y) est une notation fréquente pour désigner l'image du couple (x,y) par la forme bilinéaire

Dans notre cas l'application part d'un couple (A;B) de matrices réelles et doit renvoyer un réel, vu que l'on parle de produit scalaire réel.

Dans le cas des produits scalaires hermitiens, vu que E est un espace vectoriel complexe, l'application est à valeurs dans C. C'est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive.

@+

okk, merci beaucoup ah oui, on a vu les produits scalaires hermitiens(vite fait) mais pas les formes sesquilinéaire hermitiennes, ca ne doit pas être au programme licence, dommage c'était une partie d'algèbre qui me plaisait bien...

donc j'ai bien observé que la multiplication d'une matrice et de sa transposée revient à faire le produit scalaire des colonnes de la matrice A avec elles meme mais comment le démontrer? je ne peux pas baser ma réponse sur un exemple :sest ec que je peux dire que avec le produit matriciel on obtient en diagonale :
$C_{ii}$ =∑$$k$^n$ $a$ {ik} $b_{ki}$
or la transposée transforme un vecteur colonne en vecteur ligne donc $a$ {ik} $b</em>{ki}$
donc
$C_{ii}$ = ∑ $a_{ik}$ )²
on en deduit alors la positivité et la définition?

Salut.

Bien sûr que tu peux le dire, c'est la définition même de la multiplication matricielle. Tu n'as pas trop le choix en fait.

Donc les coefficients de la diagonale sont les normes au carré de tes vecteurs. Reste à conclure.

@+

merci beaucoup à tous pour votre aide ^^ Maintenant dois-je également utiliser la definitions du produit matriciel et de la trace via le ssomme pour montrer que
0<=Tr(AB)<=Tr(A)Tr(B) avec A et B symétriques et positives
ainsi Tr(t(A)B)=tr(AB) on en deduit que la trace est un produit scalaire. De plus,
Tr(AB)=∑$${i=1}$^n $\sum$ $em>{k=1}$ ^n$ $a$ {ik} $b</em>{ki}$ et
tr(A)tr(B)=∑ $i=1naii∗∑j=1nbjjmaisaˋpartirdecesformulesjenesaispascommentmontrerl′ineˊgaliteˊdedroite,auriezvousunepistesvp?modifieˊpar:mey,21Avr2009−14:57_{i=1naii * ∑j=1nbjj mais à partir de ces formules je ne sais pascomment montrer l'inégalité de droite, auriez vous une piste svp? modifié par : mey, 21 Avr 2009 - 14:57 }$