Equation differentielle et forme linéaire



  • Bonjour j'ai un exercice dont le but est de trouver la solution de l'équation de d'alembert:
    (∂²f/∂x²)-(1/c²)(∂²f/∂t²)=0
    Le prof indique alors qu'il faut utiliser le changement de variable
    X=x+ct et Y=y-ct alors déjà comment deviner le changement de variable?
    ensuite il introduit la fonction F telle que
    f(x,t)=F(X,T) puis la methode est d'écrire :

    (∂f/dx)=(∂F/∂X)(∂X/∂x)+(∂F/∂Y)(∂Y/∂x) de meme
    (∂f/∂y)=(∂F/∂X)(∂X/∂y)+(∂F/∂Y)(∂Y/∂y) alors cela revient en "compactant" à

    (∂f/∂x)=2(∂F/∂x) et (∂f/∂y)=2(∂F/∂y) et je ne vois pas comment cela est justifié

    De la meme maniere on derive à nouveau on remplace dans l'équa diff et on intègre. Seulement je en comprend pas du tout ce qui est marqué plus haut. Pourriez vous m'expliquer svp?

    Merci d'avance pour vos explication


  • Modérateurs

    Salut.

    Alors pour commencer, c'est très obscur ce que tu présentes. C'est qui y ? 😄

    Bon, vu que j'ai mangé des équations de d'Alembert en physique (cours sur les ondes), je peux t'expliquer grossièrement d'où vient ton changement de variable.

    Là, on étudie le cas d'une onde plane. C'est décrit mathématiquement par une fonction du type f(x;t). On peut encore simplifier son étude en disant que c'est la somme de deux ondes planes progressives se propageant en sens opposé f(x;t) = ff_1(xvt)+f2(x-vt)+f_2(x+vt).

    Si tu interprètes bien le signe devant le temps, on voit qu'une d'elles se propage bien dans les temps croissants et l'autre dans les temps décroissants. Ou si on regarde l'ensemble, alors ce sont les sens de propagation qui sont opposés vu que x±vt c'est une distance.

    Bref, je ne vais pas aller plus loin. Ce qu'il faut savoir, c'est que la solution générale de ton équation, et bien c'est une onde plane, donc la somme ff_1(xvt)+f2(x-vt)+f_2(x+vt), ce qui explique l'intérêt du changement de variable. Ça simplifie les calculs, rien de plus.

    Avec v=c la vitesse de la lumière dans le vide, on se ramène à ton exercice.

    Vu que je n'ai aucune idée d'où tu sors ton y, je ne vais pas expliquer l'étape suivante qui te donne tes dérivées. Tu nous donnes une fonction f qui dépend de x et de t, et sa dérivée par rapport à y n'est pas nulle ? Je ne pige pas. Dans le même genre un T est apparu. Je suppose que c'est en fait F(X;Y). Tu diras où t'en es.

    Vu que c'est du calcul différentiel, l'explication doit trainer dans ton cours. Tu prends l'expression de la différentielle totale df, tu divises par dx, et on se retrouve à ton cas après avoir viré les constantes de x.

    Par contre la fin est assez claire, tu as des produits, ben t'as plus qu'à simplifier tout ça. Par exemple :

    fx×xx=fx×xx=fx\frac{\partial f}{\partial x} \times \frac{\partial x}{\partial x} = \frac{\partial f}{\cancel{\partial x}} \times \frac{\cancel{\partial x}}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}

    Si si, ça a toujours marché comme ça, je te le jure. Ça marche comme les termes d'un produit. La notation n'a pas été choisie pour le plaisir d'allonger le temps d'écriture. A vue de nez c'est ce qu'il te manque pour tout comprendre. 😉

    @+



  • je suis désolée mon étourderie a fait que le y est en fait un t! et comme tu dis avec la differentielle divisée par ∂x je ne trouve pa sles equation écrites ci dessus car dans ces equations il y a la fois la fonction f et la fonction F.


  • Modérateurs

    Salut.

    Ça revient au même, il y a un problème d'homogénéité : Y=y-ct. Si je remplace y par t et Y par T ça ne veut rien dire, car on dit que des temps c'est pareil que des longueurs. 😄

    Bref, passons. Fait ton changement de variables jusqu'au bout, on a défini F telle que f(x,t)=F(X,T), donc je ne vois pas le problème. 😉

    Si tu veux plus de détails, éclaircis un peu toute cette histoire de y en écrivant clairement les relations, de quoi dépendent les fonctions, etc. Si je ne connaissais pas l'aspect physique derrière tout ça je n'aurais jamais pu t'aider.

    @+


 

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