Trouvez l'erreur

Pour résoudre dans R ( ensemble des réels) l'équation :
x = x²+1 , je procède ainsi :
Si x = x² + 1 ,
alors x = x(x²+1) + 1 ( j'ai remplacé un "x" par x²+1 )
donc x = $x^3$ + x + 1
donc $x^3$ = -1
Dans R, cette équation admet une seule solution : -1.
Or, il est immédiat de voir que -1 ne vérifie pas l'égalité donnée au départ ...
Trouvez l'erreur.

Salut mathtous,

On n’a pas le droit de poser x = x² + 1 pour tout x puisque cette égalité ne serait rigoureusement vraie que pour les solutions éventuelles de l’équation x = x²+1 (aucune racine réelle ici).

C’est pas ça ?

Je ne "pose" rien.
Lis :
Si ...
alors ...

Bon, une autre tentative alors :

"Si x = x² + 1" --> Cela n'est jamais vrai, tout simplement (discriminant négatif).
Le raisonnement est donc faux.

Si 3 = 5
alors 4=4.
Cette implication est vraie bien que 3=5 soit faux.
Il faut chercher autre chose, mais en se basant quand même sur mon si ... alors

Bon, j'insiste et je grille ma dernière cartouche :

Il n’y a pas d’erreur, c’est le raisonnement qui ne va pas jusqu’au bout :

Si . . .
Alors . . .
Donc . . .

Or / Mais . . .
Donc . . .

Ce qui donne:

On veut résoudre dans $mathbb{R}$ x = x²+1 :
Si x = x² + 1 ,
Alors x = x(x²+1) + 1 (un "x" remplacé par x²+1 )

Donc $x^3$ = -1

Or x ≠ x² + 1 car le discriminant est strictement négatif.

Donc $x^3$ ≠ -1

Cette méthode ne conduit à aucun renseignement supplémentaire, elle ne permet pas la résolution de l’équation.
.

Tu ty es presque.
En effet, il n'y a pas d'erreur , c'est simplement le raisonnement qui est incomplet.
Ma dernière phrase " Trouvez l'erreur " doit être remplacée par :
" Que conclure ? "
Par contre tes phrases bleues ne me satisfont pas :
x ≠ x² +1 est ambigü : il est plus simple de dire ce que j'avais dit : -1 n'est pas solution de l'équation donnée ( non pas à cause du discriminant mais par simple vérification directe ).
Pas besoin de discriminant ( j'y reviens plus loin ).
Je résume :
Si x = x²+1 ( x réel )
...
alors x = -1
Mais -1 n'es pas solution de l'équation,
Donc : l'équation n'admet pas de solution dans R.

Et cela sans discriminant.
Mais on peut aller plus loin.
L'équation n'admet pas de solution dans R, mais elle en admet 2 dans C ( l'ensemble des complexes ).
Quelles sont ces deux solutions ? Sans utiliser de discriminant ni "formule" y faisant appel.

Je me rappelle pas très bien de l'ensemble des complexes mais voici ma proposition :

on a x = x²+1
alors x = x²-1 +2
x = (x+1)(x-1) +2
-2 = (x+1)(x-1)-x
-2 = (×²-21/2×+ (1/2)²) -5/4
-2 + 5/4 = (× - 1/2) ²
-3/4 = (× - 1/2) ²
D ici on peut constater que l equation n admet pas de solution en ℜ
Alors dans C

on a (× - 1/2) ² + 3/4 =0
( (× - 1/2) ² - (- (√3/4)²)) =0
donc x-1/2+√3/4 =0 ou x-1/2-√3/4 =0
alors x = 1/2-√3/4 ou x= 1/2+√3/4

on met alors x=z=a+ib

donc on aura : a+ib= 1/2-√3/4 ou a+ib=1/2+√3/4

alors z=1/2 -i√3/4 ou z=1/2+√3/4

est-ce bien ça ?

J'ai trouvé les solutions complexes sans passer la méthode du delta.
C'est encore brouillon et il faut encore que j'arrive à passer de la
racine cubique de (3√3/8) à √3/2 je ne sais pas encore comment faire.

Mais ce soir, je n'ai pas le temps, je pars ... à plus tard.

salut

$3383=(3)3233\sqrt[3]{\frac{3\sqrt3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{(\sqrt3)^3}{2^3}}$

ça t'ira ?

Eraprincess
Je me rappelle pas très bien de l'ensemble des complexes mais voici ma proposition :

on a x = x²+1
alors x = x²-1 +2
x = (x+1)(x-1) +2
-2 = (x+1)(x-1)-x
-2 = (×²-21/2×+ (1/2)²) -5/4
-2 + 5/4 = (× - 1/2) ²
-3/4 = (× - 1/2) ²
D ici on peut constater que l equation n admet pas de solution en ℜ
Alors dans C

on a (× - 1/2) ² + 3/4 =0
( (× - 1/2) ² - (- (√3/4)²)) =0
donc x-1/2+√3/4 =0 ou x-1/2-√3/4 =0
alors x = 1/2-√3/4 ou x= 1/2+√3/4

on met alors x=z=a+ib

donc on aura : a+ib= 1/2-√3/4 ou a+ib=1/2+√3/4

alors z=1/2 -i√3/4 ou z=1/2+√3/4

est-ce bien ça ?

Non : le calcul est faux ici :
Citation
-2 = (×²-21/2×+ (1/2)²) -5/4
Mais lis plus haut : On arrive à $x^3$ = -1 que l'on peut résoudre dans C.

Zauctore
salut

$3383=(3)3233\sqrt[3]{\frac{3\sqrt3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{(\sqrt3)^3}{2^3}}$

ça t'ira ?
Ben non : de toute façon c'est un réel et l'équation initiale n'a pas de racine réelle.
Et ce n'est pas une racine de $x^3$ = -1.

je répondais à CQFD (post 12.05.2009, 17:09).

Zauctore
je répondais à CQFD (post 12.05.2009, 17:09).
OK désolé.

c'est moi : j'ai manqué de précision.

Pas grave, mais je me demande comment CQFD parvient à ses racines cubiques ?

Zauctore
salut

$3383=(3)3233\sqrt[3]{\frac{3\sqrt3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{(\sqrt3)^3}{2^3}}$

ça t'ira ?
Oui merci

mathtous
je me demande comment CQFD parvient à ses racines cubiques ?
J'en ai honte ... mais tant pis. J'ai fait ça trop précipitamment et me suis lancé dans une résolution via la forme algébrique.

z=a+bi

$z^3$ =-1

$(a$ ^3 $3ab^2$ ) + i $3a^2$ b - $b^3$ ) = -1

soit le syst :
| $a$ ^3 $3ab^2$ = -1 (1)
| et
| $3a^2$ b - $b^3$ = 0 (2)

avec (2) : a = |b|/√3

. Si b>0 alors a = b/√3

(1) devient :

$2^3$ /((√ $3)^3$ ). $b^3$ = 1 soit b = √3/2 (merci Zauctore !)

et donc a = 1/2

. Si b<0 alors a = -b/√3

(1) devient :

$2^3$ /((√ $3)^3$ ). $b^3$ = -1 soit b = -√3/2

et donc a = 1/2

Les solutions :

z1 = 1/2 + (√3/2) i et
z2 = 1/2 - (√3/2) i

A tête reposée . . . et en voyant les solutions $e^{$pi$/3}$ et $e^{-$pi$/3}$ la forme exp aurait été bien plus solft !

avec z = r. $e^{iΘ}$

$z^3$ = -1

| $r^3$ . $e^{i3Θ}$ = $e^{i$pi$}$
| ou
| $r^3$ . $e^{i3Θ}$ = $e^{-i$pi$}$

$r^3$ = 1
et
Θ = $p i$ /3 ou Θ = - $p i$ /3

Quelle connerie de ne pas y avoir pensé immédiatement ! On a la fâcheuse tendance à foncer dans les calculs algébriques dans $mathbb{C}$ .

Je galère avec les dénombrements en ce moment. J’ai un ds vendredi et je ne me sens pas clean . . . alors au boulot. Le cours ne suffit pas pour ce truc là ! C'est assez tordu.

Oui, tes résultats sont justes.
Mais tu dois être un adepte du principe :
"pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué " ?
L'équation $x^3$ = 1 admet 3 racines dans
1 ; j ; et j² .
Donc l'équation $x^3$ = -1 admet les 3 racines :
-1 ; -j ; et -j².
-1 n'est pas racine de l'équation donnée ; restent j et j².
Avec évidemment j = 1/2 + i√3/3 et j² son conjugué.

Je dois prblt aimer les complications ...

Je vais encore paraître ridicule mais j, c'est quoi ?

Pas trouvé dans mon bouquin, et ça ne me dit rien, je vais chercher.

j est l'une des 3 racine cubiques de 1.
Je l'ai dit ci-dessus : j = 1/2 + i√3/2 = $e^{iπ/3}$
Trace le cercle de centre O et de rayon 1 dans le plan d'Argand-Cauchy, place le point A d'affixe 1 , et partage le cercle en 3 parties égales à partir de A. Tu obtiens les points J d'affixe j et J' d'affixe j² = conjugué de j.

Je vais regarder cela

Merci