PB DE SYNTHESE:limites,courbes,second degrés,identification.

f est la fonction définie sur R-{3} par f(x)=x/x-3.C est la représentation graphique de f ds un repère.

1.étudiez la limite de f en +infini et -infini et en 3.
2.démontrez que C a des asymptotes dont vs donerez des équation cartésiennes.
3.montrez que l(3;1) est un centre de symétrie de C.
4.a.déterminez des réels a et b tels que por tt x réel,x diff/ 3,on ait,f(x)=a+b/x-3
b.montrez que f est strictement décroissante sur ]3;+infini[ ?
c.quel est le sens de variation de f sur ]-infini;3[ ?
5.dressez un tableau de variation de f et faites y figurer les limites trouvées.
6.tracer les asymptotes ainsi que la courbe C.
7.La droite Dm passe par le point K(0;1) et a pour coefficient directeur réel m.
a.donnez une équation catésienne de Dm.
b.discutez,suivant les valeurs de m,le nombre de points d'intersection de C et Dm.

Je n'arrive pa a faire cet exercice si ce n'est la question 1. il s'avere etre pr mercredi si vs pouvé m'aider ce serait vraiment aimable je suis totalement paniquée.merci d'avance.

Citation
f est la fonction définie sur R-{3} par f(x)=x/(x-3).
C est la représentation graphique de f ds un repère.

1.étudiez la limite de f en +infini et -infini et en 3.
2.démontrez que C a des asymptotes dont vous donnerez des équation cartésiennes.

Pour 1.
On écrit f(x) = 1/(1-3/x) ce qui montre que lim f(x) = 1 pour x -> inf/
Pour x -> 3, on écrit f(x) = 1 + 3/(x-3) qui montre que la limite en $3^+$ est +inf/ et en $3^-$ est -inf/

Pour 2.
Il suffit de traduire les résultats précédents : C a pour asymptote "horizontale" y=1 au voisinage des infinis, et pour asymptote "verticale" x=3

Citation
3. montrez que l(3;1) est un centre de symétrie de C.
Deux méthodes :

la première consiste à utiliser la transformation d'écriture
f(x) = 1 + 3/(x-3)
Ceci montre clairement que dans le repère de centre I(3 , 1) la courbe a pour équation
Y = 3/X
en posant Y = y-1 et X = x-3.

Comme je sais que cette méthode ne s'enseigne plus trop - c'est bien dommage - on va donner la deuxième méthode qui consiste à utiliser les formules du centre de symétrie (beurk !) :

P(a ; b) est centre de symétrie si et seulement si pour tout h>0
[f(a+h)+f(a-h)]/2 = b
il suffit donc de calculer en remplaçant x par a+h et par a-h :
le numérateur, seul, est
f(3+h) + f(3-h)
= (3+h)/(3+h-3) + (3-h)/(3-h-3)
= (3+h)/h - (3-h)/h
= 2h/h
= 2
Donc en divisant par 2
[f(3+h) + f(3-h)]/2 = 1, CQFD.

Citation
4.a.déterminez des réels a et b tels que pour tout x réel x diff/ 3, on ait f(x)=a+b/(x-3)
b.montrez que f est strictement décroissante sur ]3;+infini[ ?
c.quel est le sens de variation de f sur ]-infini;3[ ?

La détermination de a et b a déjà été faite plus haut... j'aurais dû lire l'énoncé en entier !

a.
La méthode classique maintenant, mais initéressante, consiste à mettre au même dénominateur et identifier les coeffcients. Cela donne pour tout x diff/ 3
a + b/(x-3) = a(x-3)/(x-3) + b/(x-3) = [ax - 3a + b]/(x-3)
qui doit être égal à f(x) = x/(x-3).
Donc a = 1 et b = 3.

b.
On a l'enchaînement de fonctions élémentaires suivant
x -> x-3 -> 1/(x-3) -> 3/(x-3) -> 1 + 3/(x-3).
la fonction affine est croissante, composée avec l'inverse qui est décroissante sur l'intervalle considéré. Donc f est décroissante, car multiplier par 3 puis ajouter 1 ne change pas le sens de variation.

Note : ici, il ne fallait surtout pas dériver !

c.
C'est le même...

c vraiment tré aimable de m'avoir aidé,je vs remerci beaucoup.mille merci vraiment.

par contre je ne compren pa pk il ne faut pa dérivé a la question 4.b.
salutation distinguées.

Salut à toi !
C'est pour la cohérence vis-à-vis de l'énoncé que je disais qu'il ne fallait pas dériver ; ce serait dommage d'utiliser le marteau-pilon de la dérivation pour une si inoffensive fonction, bien clairement décomposée et dont l'étude peut se faire tranquillement avec les "enchaînements de fonctions élémentaires" (cf Seconde, voire début de Première).
Note que c'est malgré tout juste si tu le fais avec la dérivée, et le signe de la dérivée, etc...
@+