Matrice symétrique

[bnjirie]

Bonjour, n'étant pas rompu au latex, je vous mets ce petit lien:

http://clubmaths.free.fr/deug2/MA21A_Algebre_et_analyse_Juin_2001.pdf

Dans l'exercice 2, première question: A est matrice symétrique donc diagonalisable dans une base de vecteurs propres orthonormée,c'est direct. Mais pour (A-iI) inversible, je dois dire que je bloque(un peu navrant vu le chiffre 1 devant la question...)

Un petit coup de pouce serait plus que bienvenu, et merci beaucoup d'avance.

Edit de J-C : ne pas être rompu au LaTeX n'empêche pas de suivre les consignes et de recopier le sujet (ou de copier-coller à ce niveau là).

On considère dans $M_3$(lR) la matrice $a=\left(\begin{array}{ccccccc}0& amp;-1& amp;1-1& amp;-1& amp;01& amp;0& amp;-1\end{array}\right)$.

1. Sans effectuer de calculs, expliquer pourquoi A est diagonalisable et que la matrice (A - iI) est inversible.

[Shloub]

Pour diagonaliser une matrice, trouver les sous-espaces propres, etc, tu n'utilises pas det(A-iI) ?

[Jeet-chris]

Salut.

Parce que ce n'est pas la question.

Si tu sais que A est diagonalisable en une matrice D, il existe une matrice P telle que $D=P^{-1}$AP.

Que penses-tu dans ce cas de $P^{-1}$(A-iI)P ? Tu ne pourrais pas en déduire quelque chose ?

@+

[bnjirie]

On a P^(-1)(A-iI)P diagonale, mais je ne vois pas quoi en déduire puisqu'on peut toujours avoir une valeur propre nulle.
Vous n'auriez pas un petit coup de pouce supplémentaire, parce que là je dois bien avouer que je suis perdu. Merci d'avance

[Jeet-chris]

Salut.

Mais vu que A est symétrique réelle, ça ne doit pas arriver bien souvent que ses valeurs propres soient complexes.

Donc $P^{-1}$(A-iI)P = D-iI est une matrice diagonale de coefficients diagonaux non nuls (car même si une valeur propre de A est nulle, il reste le -i). Comment conclure sur (A-iI) ?

@+

[bnjirie]

D'accord, donc on peut poursuivre avec det(D-iI) =det(A-iI)≠0, et par conséquent, (A-iI) inversible. C'est ça?

[Jeet-chris]

Salut.

Oui par exemple.

Si on analyse un peu ce que l'on a fait :

1. A est diagonalisable de valeurs propres réelles λ${}_1$, λ${}_2$ et λ${}_3$.
2. A-iI est diagonalisable de valeurs propres μ${}_k$ = λ${}_k$ - i
3. Or les μ${}_k$ ne sont jamais nuls, vu que les λ${}_k$ sont réels alors que i est un imaginaire pur.
4. Conclusion : vu que le déterminant de A-iI, produit des μ${}_k$, n'est pas nul, A-iI est inversible.

@+

[bnjirie]

Ok, c'est super sympa. Merci de ta patience, j'ai pas été une flèche la dessus.
A+