Exercice intégrale d'une fonction



  • Bonjour à tous, voici mon énoncé sur les intégrales

    Pour p et q deux entiers naturels, on pose :

    JpJ_p,q_q= ∫$$_0$^1$ tt^p(1t)q(1-t)^qdt

    1- Montrer que $J_{p,$}<em>q<em>q = $J{q,$}p_p

    2- Calculer $J_{p,$}0_0

    3- Pour q≥1, établir une relation de récurrence entre $J_{p,$}<em>q<em>q et $J{p+1,$}q1_{q-1}

    4- En déduire $J_{p,$}q_q en fonction de p et de q

    5- On pose : IIn$=J{n,$}n_n

    a) Prouver que : InI_n≥0, InI_n≤1÷(n+1), InI_n≤(1÷4)n4)^n

    b) Déterminer lim InI_n lorsque n→+∞

    Voici ce que j'ai réussi a faire :

    1- pas de problème un petit changement de variable et c'est fini.

    2- $J_{p,$}0_0= ∫$$_0$1^1t^pdt=dt = [t^{p+1}$÷$(p+1)]0_0^1$ = 1÷(p+1)

    3- J'ai fais une intégration par partie et je trouve :

    $J_{p,$}<em>q<em>q = q÷(p+1) × $J{p+1,$}q1_{q-1}

    4- C'est a cette question que je suis bloqué, je n'arrive pas a trouver de relation liant seulement $J_{p,$}<em>q<em>q à p et q.. J'ai tenté de calculer $J{p+1,$}q1_{q-1} mais j'arrive a un quelque chose "d'horrible" excusez moi pour le terme 🙂

    Je vous remercie d'avance pour votre aide



  • Bonjour à toi Benjyy,

    Avec ce que tu as déjà démontré (en 2 et 3), tu peux essayer de généraliser ce schéma :
    jp,q=qp+1×jp+1,q1,=,qp+1(q1p+2×jp+2,q2),=,j_{p,q} = \frac{q}{p+1} \times j_{p+1,q-1} , = , \frac{q}{p+1} \left( \frac{q-1}{p+2} \times j_{p+2,q-2} \right) , = , \cdots

    <em>kanial:jemepermetdecorrigeruneétourderie;)<em>_{kanial : je me permet de corriger une étourderie ;)}



  • Merci pour ton aide, j'ai réussi a trouvé une relation comme s'est demandé, je trouve :

    Jp,qJ_{p,q}= ( p! q! ) / ( p +q +1 ) !

    Mon exercice me demande ensuite de prouver les inégalités :
    -> InI_n≥0 c'est possible de dire, que le produit de factorielle est ≥0 ?

    Ensuite pour démontrer InI_n≤ 1 / (n+1) j'ai un soucis, je n'arrive pas jusqu'au bout, j'ai beau commencé par l'inégalité trouvé juste au dessus ou bien avec les intégralles mais je tourne un peu en rond 😞



  • Très bien, ok pour ce résultat !

    Concernant les produits de factorielles, une seule chose à connaître :

    • un produit de deux facteurs positifs est ...
      ...pour en déduire :
    • une factorielle est un produit de facteurs ... donc le résultat d'une factorielle est ...
    • le produit de deux factorielles est ...

    Si tu as effectivement trouvé :
    in=(n!)2(2n+1)!i_n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!},

    essaie de transformer ton écriture pour faire apparaître le 1n+1\frac{1}{n+1} de l'écriture finale...

    Merci Kanial pour les étourderies 😉



  • Je viens de me rendre compte d'une petite erreur de ma part, a la premiere question lorsqu'on me demande de montrer que :

    Jp,qJ_{p,q} = Jq,pJ_{q,p}

    Je ne trouve pas ce résultat, je trouve : Jp,qJ_{p,q} = - Jq,pJ_{q,p}

    Pour trouver ça, j'ai fais le changement de variable suivant :
    t = 1- X
    dt = -dX

    $$_0$^1$ tpt^p (1t)q(1-t)^q = -∫$$_0$^1$ (1X)p(1-X)^p XqX^q dX

    Je ne trouve pas d'autre changement de variable qui me permettrait de trouver le résultat demandé..



  • il n'y a pas un effet sur les bornes, lors de ce changement de variable ?



  • Effectivement, on obtient bien : Jp,qJ_{p,q} = Jq,pJ_{q,p}

    Pour la question 3, il apparait un signe -

    Je trouve : Jp,qJ_{p,q} = - [ q / (p+1) ] * ∫01_{01} tp+1t^{p+1} (1t)q1(1-t)^{q-1} dt

    donc Jp,qJ_{p,q} = - [ q / (p+1) ] * Jp+1,q1J_{p+1,q-1}

    Pour la suite il apparaitra toujours un signe - et je trouve In ≤ 0 ...



  • Bonsoir Benjyy,

    Ton signe (-) n'est pas cohérent avec l'énoncé...
    Comment arrives-tu à ce résultat ?

    Est-on d'accord sur le fait que :
    u(t)=tp  v(t)=(1t)q  u(t)=tp+1p+1  v(t)=q(1t)q1u'(t) = t^p\ \ v(t) = (1-t)^q\ \ u(t) = \frac{t^{p+1}}{p+1}\ \ v'(t) = -q(1-t)^{q-1}
    pour l'intégration par partie ?


 

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