Exercice intégrale d'une fonction

Bonjour à tous, voici mon énoncé sur les intégrales

Pour p et q deux entiers naturels, on pose :

$J_p$ , $_q$ = ∫$$_0$^1$ $t$ ^p $1-t)^q$ dt

1- Montrer que $J_{p,$} $< e m > q$ = $J{q,$} $_p$

2- Calculer $J_{p,$} $_0$

3- Pour q≥1, établir une relation de récurrence entre $J_{p,$} $< e m > q$ et $J{p+1,$} $_{q-1}$

4- En déduire $J_{p,$} $_q$ en fonction de p et de q

5- On pose : $I$ n$=J{n,$} $_n$

a) Prouver que : $I_n$ ≥0, $I_n$ ≤1÷(n+1), $I_n$ ≤(1÷ $4)^n$

b) Déterminer lim $I_n$ lorsque n→+∞

Voici ce que j'ai réussi a faire :

1- pas de problème un petit changement de variable et c'est fini.

2- $J_{p,$} $_0$ = ∫$$_0$ $^1$ t^p $d t =$ [t^{p+1} $\div$ (p+1)] $_0$ ^1$ = 1÷(p+1)

3- J'ai fais une intégration par partie et je trouve :

$J_{p,$} $< e m > q$ = q÷(p+1) × $J{p+1,$} $_{q-1}$

4- C'est a cette question que je suis bloqué, je n'arrive pas a trouver de relation liant seulement $J_{p,$} $< e m > q$ à p et q.. J'ai tenté de calculer $J{p+1,$} $_{q-1}$ mais j'arrive a un quelque chose "d'horrible" excusez moi pour le terme

Je vous remercie d'avance pour votre aide

Bonjour à toi Benjyy,

Avec ce que tu as déjà démontré (en 2 et 3), tu peux essayer de généraliser ce schéma :
$jp,q=qp+1×jp+1,q−1,=,qp+1(q−1p+2×jp+2,q−2),=,⋯j_{p,q} = \frac{q}{p+1} \times j_{p+1,q-1} , = , \frac{q}{p+1} \left( \frac{q-1}{p+2} \times j_{p+2,q-2} \right) , = , \cdots$

$<em>kanial:jemepermetdecorrigeruneeˊtourderie;)<em>_{kanial : je me permet de corriger une étourderie ;)}$

Merci pour ton aide, j'ai réussi a trouvé une relation comme s'est demandé, je trouve :

$J_{p,q}$ = ( p! q! ) / ( p +q +1 ) !

Mon exercice me demande ensuite de prouver les inégalités :
-> $I_n$ ≥0 c'est possible de dire, que le produit de factorielle est ≥0 ?

Ensuite pour démontrer $I_n$ ≤ 1 / (n+1) j'ai un soucis, je n'arrive pas jusqu'au bout, j'ai beau commencé par l'inégalité trouvé juste au dessus ou bien avec les intégralles mais je tourne un peu en rond

Très bien, ok pour ce résultat !

Concernant les produits de factorielles, une seule chose à connaître :

un produit de deux facteurs positifs est ...
...pour en déduire :
une factorielle est un produit de facteurs ... donc le résultat d'une factorielle est ...
le produit de deux factorielles est ...

Si tu as effectivement trouvé :
$in=(n!)2(2n+1)!i_n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$ ,

essaie de transformer ton écriture pour faire apparaître le $1n+1\frac{1}{n+1}$ de l'écriture finale...

Merci Kanial pour les étourderies

Je viens de me rendre compte d'une petite erreur de ma part, a la premiere question lorsqu'on me demande de montrer que :

$J_{p,q}$ = $J_{q,p}$

Je ne trouve pas ce résultat, je trouve : $J_{p,q}$ = - $J_{q,p}$

Pour trouver ça, j'ai fais le changement de variable suivant :
t = 1- X
dt = -dX

∫$$_0$^1$ $t^p$ $1-t)^q$ = -∫$$_0$^1$ $1-X)^p$ $X^q$ dX

Je ne trouve pas d'autre changement de variable qui me permettrait de trouver le résultat demandé..

il n'y a pas un effet sur les bornes, lors de ce changement de variable ?

Effectivement, on obtient bien : $J_{p,q}$ = $J_{q,p}$

Pour la question 3, il apparait un signe -

Je trouve : $J_{p,q}$ = - [ q / (p+1) ] * ∫ $_{01}$ $t^{p+1}$ $1-t)^{q-1}$ dt

donc $J_{p,q}$ = - [ q / (p+1) ] * $J_{p+1,q-1}$

Pour la suite il apparaitra toujours un signe - et je trouve In ≤ 0 ...

Bonsoir Benjyy,

Ton signe (-) n'est pas cohérent avec l'énoncé...
Comment arrives-tu à ce résultat ?

Est-on d'accord sur le fait que :
$t^p\ \ v(t) = (1-t)^q\ \ u(t) = \frac{t^{p+1}}{p+1}\ \ v'(t) = -q(1-t)^{q-1}$
pour l'intégration par partie ?