1=2

Bonjour à tous,

je connais plusieurs façons de démontrer que 1=2 (avec une erreur bien sur) mais pour l'une d'entre elles je ne vois pas où est l'erreur... La voici :

soit une suite $u_n$ ) définit par $u_n$ = 1 -1/2 +1/3 -1/4 +1/5 -1/6 +1/7 - ... + $1)^{n+1}$ /n

$u_n$ ) converge vers ln 2 (je ne fais pas la démonstration)

donc
1 -1/2+
1/3-1/4 +1/5
-1/6+1/7 - 1/8 +... = ln 2

donc
1/2- 1/4 +
1/6-1/8 +... = ln 2 (en regroupant les fractions selon les couleurs et en procédant de même avec les autres fractions dans les "...")

donc 1/2*(1 -1/2 + 1/3 -1/4 +...) = ln 2 (en mettant 1/2 en facteur)

donc 1/2*ln 2 = ln 2

donc 1=2 (en simplifiant par ln 2 et en multipliant de par et d'autre par 2)

quelqu'un peut-il me dire où est l'erreur ?

salut

le problème est le suivant : tu sais que les sommes de termes en nombre fini est commutative ; est-ce que cette propriété reste vraie pour les sommes infinies, ie les séries ?

renseigne-toi sur la différence entre série absolument convergente et série semi-convergente.

@+

Salut.

L'erreur c'est que dans les sommes infinies tu n'as pas le droit de faire tout plein de choses, comme par exemple l'association que tu as faite (la commutation).

Prends par exemple cette suite :

1-1+1-1+1-1+...

Si tu associes les 1-1 entre-eux, tu écrirais que :

1-1+1-1+1-1+... = 0+0+0+... = 0

Et c'est faux, vu que ça ne converge jamais. La suite vaut 1 puis 0 puis 1, etc. indéfiniment.

Ou encore :

1-(1-1+1-1+...) = 1-(0+0+...) = 1

D'où, avec les deux méthodes : 0=1, donc tous les nombres sont égaux, et le monde est foutu. :razz:

Ce qu'il faut, c'est écrire ton raisonnement en gardant une rédaction rigoureuse, c'est-à-dire en partant de : $∑n=1+∞(−1)n+1n\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ . Normalement, si tu essaies de faire la même chose avec cette écriture, tu n'y arriveras pas.

Plus concrètement, tes ... sont ton erreur, tu n'as aucune idée de comment ça se passe à l'infini, si ce que tu fais as de grosses conséquences ou non. Là, c'est le cas.

@+

d'acc

je me doutais bien que l'erreur était dans les "..." mais je voyais pas trop pourquoi

merci beaucoup à vous deux !