Exercices sur les complexes



  • Bonsoir,
    Me voilà rentrée en prépa!! J'ai besoin de votre aide pour plusieurs exercices indépendants!!

    Exercice 1
    a) Déterminer les racines secondes des complexes suivants :
    a = 3-4i et (x+iy)² = 3-4i.
    x²-y²=3
    xy=-2

    (-2/y)²-y²=3
    x=2/y

    x²-y²+2xyi= 3-4i
    (4-y^4)/y²=3
    Mais ensuite je suis coincée

    Exercice 1
    b) Calculer les racines quatrièmes de -119 + 120i.
    Qu'est ce que c'est?
    Exercice 2
    Démontrer que ∀( que veur dire ce signe) (z,z')∈C²
    |z+z'|²+|z-z²| = 2(|z|²+|z'|²)
    |z²+2zz'+z'²+z²-2zz'+z'²| = 2(|z²+z'²|) = 2(|z²|+|z²|)

    Exercice 3
    Résoudre en C les équations:
    a) z4z^4+4=0
    b) z²=(√2i)²
    c) z²-(√2i)=0
    d) z=-√2i ou z=√2i

    z²-(5i+1)z-6+7i=0
    D=(5i+1)²+4(-6+7i)
    D=-10+10i+1-24+28i
    D=-33++38i

    z4z^4+z²+1=0
    Z=z²
    Z²+Z+1=0
    D=1-4
    D=-3

    Z1=(-1-i√3)/2 Z2=Z1=(-1+i√3)/2

    Mais après je ne sais pas comment revenir à z !

    z³=4√2(1-i)
    Je ne sais pas comment faire !

    Exercice 4
    Calculer
    S=cos π/11 +cos 3π/11 +cos 5π/11+ cos 7π/11+ cos 9π/11

    Une petite piste??

    Exercice 5
    x∈ℜ, n∈N, (a,b) ∈R²
    Calculer
    S1S_1= ∑$$^n$_{k=0}$ CCnk^k coskx
    et
    S2S_2$$^n$
    {k=0}$ sin(a + kb)

    Est ce que vous pouvez m'expliquer comment se lit se signe ? et que veut -il dire? comment se calcule t-il?

    Exercice 6
    Calculer cos 5a et sin 5a en fonction respectivement de cos a et sin a.

    En déduire la valeur de cos π/10

    Je ne comprends rien??

    Exercice 7
    Résoudre dans 😄 (z+1)n(z+1)^n = (1z)n(1-z)^n (n∈N)
    Alors là ça me parais très supect!!

    Merci de votre aide

    NdZ : quelques (!) corrections formelles...



  • Salut

    ça change de la TS, pas vrai ?

    Exercice 2 : résous z4z^4 = -119 + 120i.

    le symbole \forall signifie pour tout ... ou quelque soit ...

    Exercice 4 : ça ressemble à la partie réelle de qqch, non ?

    Exercice 5 : la somme de k = 0 à k = n, ça tu connais ?!

    la combinaison n k : combien de façons de choisir sans ordre k éléments parmi n, en term tu écrivais ça avec la notation moderne

    $(\phantom_k^n)$
    ça te revient ?!

    Exercice 6: rappelle-toi la formule d'addition cos (u+v) = ...

    Exercice 7 : ramène-toi à des racines n-ièmes de l'unité peut-être.

    ps : tu as bien commencé par revoir tes cours de la semaine et tes exos corrigés, avant de te lancer dans les exos ?

    je ne peux pas entrer plus en détail, j'ai moi aussi pas mal de choses à faire aujourd'hui !

    n'oublie pas qu'en prépa aussi, on a le droit de poser des questions au prof, aussi impressionnant qu'il paraisse. vous venez tous du même genre de term, vous avez donc tous plus ou moins les mêmes difficultés : il faut bien se décider à poser des questions, ça aidera le plus grand nombre !

    @+



  • merci, si je vous demande de l'aide c'est pour mieux pouvoir suivre en cours car ça va très vite !!
    nous n'avons aucun cours;
    Est ce que l'on peut commencer par l'exercice 1 s'il vous plait ?



  • Bonjour,
    Pourf l'exercice 1, utilise la forme trigonométrique de a : le module et l'argument sont simples.
    Tu en déduis le module et l'argument des racines carrées.



  • merci,
    je ne comprends pas tout mais je vais essayer:|a|=5
    arg(a)=-π/3
    comme ca?



  • |a| = 5 : oui : il se calcule : |a|² = 3² + (-4)²
    Mais arg(a) ≠ -π/3
    tu connais par contre son cosinus et son sinus.



  • cos 0 =1
    -sin1??



  • je peux faire x=rcosO et y=rsinO



  • cosO=x/r
    O=3/5
    sin O= y/r
    O=-4/5



  • Non.
    a = 3 - 4i = ρ cos θ + ρ sin θ que l'on peut aussi écrire ρ eiθe^{iθ}
    Tu as calculé ρ = 5.
    Par identification, tu peux donc en déduire les valeurs de cos θ
    et de sin θ



  • 3=ρ cos θ
    3/5=cos θ
    3/5=cos θ

    -4=ρ sin θ
    -4/5=sin θ

    je n'arrive pas à trouver θ car le dénominateur c'est 5 et je n'arrive pas à le représenter sur le cercle trigo?



  • Ne cherche pasà calculer θ.
    Que peut-on dire du module d'une racine carrée z de a ?
    Et que peut-on dire de son argument ?



  • z²=a
    arg(z²)=θ²

    je suis désolée c'est tout nouveau, donc je rame un peu !!



  • Non !
    Il faut commencer par revoir le cours sur les complexes.
    Que peux-tu dire du module de z ? |z| = ?? ( connaissant le module de a : 5 )
    Et pour l'argument, revois les résultats du cours.



  • |z|=r
    r=√(x²+y²)
    or |z²|=r²=x²+y²
    θ= arg(z)



  • Tu ne réponds pas à ma question.

    1. Connaissant ρ = |a| ( on l'a calculé : il vaut 5 ) , que vaut r = |z| ?
      C'est un résultat de cours.
    2. Connaissant θ = arg(a) , que vaut arg(z) en fonction de θ ?
      Il n'est pas égal à θ.
      C'est aussi du cours.
      C'est pourquoi on n'avancera pas si tu ne revois pas ces résultats de TS.

    Appelons φ l'argument de z.
    Puisque z² = a, on a : r = ?? ( en fonction de ρ )
    et φ = ?? ( en fonction de θ )



  • j'ai mon cours devant les yeux ^^
    |z|=√z.zz^-
    arg(z)=ρ cos θ + ρ sin θ
    r=ρ cos φ + ρ sin φ



  • Mais tu le lis mal ...
    Fais attention à la signification des lettres.
    Il y a ici
    deuxnombres complexes :
    a de module ρ et d'argument θ : a = ρ eiθe^{iθ} = ρ cos θ + ρ sin θ
    et z de module r et d'argument φ : z = ... complète

    Sachant que z² = a, quel lien y a-t-il entre ρ et r ?
    et entre θ et φ ?



  • z=reiφz=re^{iφ}=r cos φ + r sin φ
    (r cos φ + r
    isin φ)² = ρ cos θ + ρ
    isin θ
    r²=ρ
    (cos φ +
    isin φ)² = cos θ +
    isin θ

    φ ²=θ



  • r² = ρ : oui. Cela te permet donc d'obtenir r ( puisque tu connais ρ ).
    Mais la dernière ligne est fausse !
    Corrige ( et calcule r ).



  • r=25

    2φ =θ



  • 2φ =θ oui.
    Mais r ne vaut pas 25 ! tu fais une confusion grave entre carré et racine carrée ( attention : tu es en prépa ... ).
    r² = ρ = 5 , donc r = √5.

    Tu connais cos θ et sin θ : tu les as calculés plus haut.
    Tu sais que 2φ =θ , donc tu vas pouvoir calculer cos φ et sin φ en utilisant la trigo.
    Rappelle-toi les formules : cos 2φ = ?? et sin 2φ = ??



  • 3/5=cos θ
    -4/5=sin θ

    cos 2φ = cos ² φ - sin ²φ
    = 2cos²φ -1

    sin 2φ =2sinφ .cosφ



  • Oui
    Utilise cos 2φ = 2cos²φ -1 et bien sûr cos 2φ = cos θ = 3/5 pour calculer cos φ
    Ensuite tu pourras calculer sin φ.



  • cosθ= 2cos²φ -1= 3/5

    cos²φ =4/5
    là je coince



  • C'est comme r² = 5
    Sauf qu'ici, il y a deux solutions : c'est normal car on doit trouver deux racines carrées de a ( deux nombres complexes opposés pour z ).
    Choisis l'une de ces valeurs :
    cos²φ =4/5 donc cos φ = ?? ( regarde la première ligne )



  • cos φ = 2/√5=2√5/5

    sin 2φ =2sinφ .cosφ =sin θ=-4/5
    sin 2φ =2sinφ . (2√5)/5=-4/5
    sin 2φ=-1/√5
    sin φ=-1/√√5



  • Citation
    2sinφ . (2√5)/5=-4/5
    Jusqu'ici, ça va.
    Mais ensuite cela dérape : c'est 2 sin φ que tu obtiens :
    2 sin φ = -2/√5 et donc sin φ = -1/√5
    Et ta dernière ligne est bizarre.

    Maintenant, tu sais que z=reiφz=re^{iφ}= r cos φ + r sin φ
    Tu n'as plus qu'à remplacer : tu obtiendras une des deux réponses pour z .
    Il ne faudra pas oublier l'autre qui est son opposée.
    Tu dois trouver z = 2 - i ( et z' = -2 + i)
    Je t'engage vivement à vérifier : (2 - i )² = ??
    Trouve-t-on bien a = 3 - 4i ?
    Je dois maintenant te laisser .
    A+ et bon courage.



  • a ok j'ai compris, merci

    je fais un 2ème pour voir si j'ai bien assimilé:
    b=-14+8i
    |b|²=(-14)²+8²= 260 -> |b|=2√65
    b=-14+8i=p cosθ + p sin θ= peiθpe^{iθ}
    z²=(-14+8i)²= r cosφ +r sin φ= reiφre^{iφ}
    p=r²=2√65 donc r= √(2√65))

    cosθ=-14/(2√65)=-7/√65
    sinθ= 8/(2√65) = 4/√65
    (cos φ+ sin φ)²= cosθ+sin θ
    2φ=θ
    cos2φ= cos θ = -7/√65
    cos2φ=cos²φ-1=-7/√65
    cos φ=√((-7+√65)/√65)

    sin2φ= sin θ = 4/√65
    sin2φ= 2sinφ- cosφ =4/√65
    2sin φ -√((-7+√65)/√65)=4/√65

    je pense que je me suis trompée mais je ne vois pas où 😡



  • Rebonjour,
    Désolé de revenir si tard : c'est un incident sur ma ligne ADSL : plus de téléphone ni d'internet ...
    L'exemple que tu choisis est trop compliqué : je n'ai pas eu le courage de regarder en détail, mais il y a bien des racines carrées de racines carrées, ce qui complique.
    Essaie plutôt l'exercice suivant : racines quatrièmes de -119 + 120i.
    Cherche d'abord une racine carrée comme précédemment, puis une racine carrée du résultat.
    Ensuite, il ne faut pas oublier qu'il y a au total 4 racines quatrièmes : comment les obtenir toutes ?


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