J'ai une question (de bon niveau)

Voila j'était en cours (de troisième)
et je ne sais plus comment j'ai été confronté à une dérivée
alors j'ai cherché pourquoi...
6 mois plus tard mon savoir mathématique s'ayant développé a pu répondre !
Il s'agit d'une équation différentielle du second degré.
Alors j'utilise une autre méthode que la normale je la transforme en système d'équations différentiels linéaires du premier degré...

Exemple: y''+y'- yln x = 0
Avec z=y' j'ai z'=y'' et donc
(S) z'+z-y ln x = 0
y'-z= 0

Pouvais vous m'expliquer comment résoudre ce genre de systeme ?

Merci d'avance !

Dommage que personne me réponds...

N'y a t-il personne qui peut m'aider ??

Tant pis pour moi !

Ouin !!!

Bonjour,
C'est une question a priori difficile, que l'on range sous la catégorie "équation différentielle linéaire du second ordre". Lorsque les coefficients (devant y'',y' et y) ne dépendent pas de x, il existe des méthodes systématiques de résolution. C'est donc le "ln x" qui nous ennuie.
Je connais mal le sujet, mais je peux te fournir une direction de recherche. Painlevé, un grand mathématicien des XIXème-XXème siècles s'est attaqué à la classification des équations différentielles linéaires du second ordre, appelées équations de Painlevé. Pour certaines, il a trouvé une solution explicite, pour d'autres non. Tu peux chercher sur internet.
Je suis assez pessimiste parce que Maple (un logiciel de calcul formel, pour lequel Painlevé n'a normalement aucun secret) ne parvient pas à résoudre ton équation.

Une dernière remarque : ton changement de fonction y'=z est peut-être une bonne idée. Note cependant qu'on peut l'appliquer à TOUTE équation différentielle. Je ne vois pas pourquoi, sur ce cas précis, il serait opportun. Une autre façon de le dire est qu'un système de deux équations d'ordre n-1 n'est a priori pas plus facile à résoudre qu'une équation d'ordre n. Ca ne veut pas dire que c'est une mauvaise idée, mais plutôt que rien ne m'indique que, dans ce cas particulier, ce soit une bonne idée.
Bonne chance. Je poursuis mes recherches de mon coté.

Merci... mais moi j'aimerais pouvoir résoudre les équations (système d'équation) de ce type :

a(x)y'+b(x)y+c(x)f+d(x)=0
y'-f=0

Où "f" est l'inconu est que y'=f

Merci !

Mais c'est de quel classe ça ?

Nan ça ira je me suis trouvé une autre méthode de résolution...
Voilà mon procédé : y''+a(x)y'+b(x)y=0
Soit $y=e^{f(x)}$ alors y'=f' $x)e^{f(x)}$ et y''=f'' $x)e^{f(x)}$ +f'(x)f' $x)e^{f(x)}$
En enlevant $e^{f(x)}$ et en posant f'(x)=f j'ai :
f'+f²+a(x)f=-b(x) en enlevant le terme perturbateur...
Ce qui me ramène à une équation différentielle de Bernoulli.
et en substituant $u=f^{-1}$ et u' $f^{-1}$ f'
j'ai : u'-a(x)u=1

Le problème c'est le terme perturbateur b(x) qui a été retiré plus haut !!!! Comment Faire ? je cherche encore...

J'ai vu qu'en réalité ça ne marchait pas... en fait ça se ramene à une equation differentielle de Ricatti, et la resolution des ces equation c'est la transformation en second degré ce qui ramene au point de depart... Donc seul l'histoire du systeme fonctionne ! Sinon on peut le resoudre directement par le second degré mais je ne sais pas comment on fait, j'ai entendu dire qu'il fallait le Wronskien...