polynome de degré 3

Bonjour

J'ai un DM de maths sur la méthode de Cardan à faire et je bloque dans la première partie.

On a p et q réels, $f(x)= x^3 + px +q$ et on pose $δ=q2+4p327\delta = q^2 + \frac{4p^3}{27}$
On me demande de calculer f' j'ai donc : f'(x)=3x²+p
On me demande ensuite de déterminer le nombre de racines réelles de f lorsque $p≥0p\geq 0$

Comme j'ai calculé f' je suppose qu'il faut l'utiliser mais je ne suis pas sûre de comment l'utiliser. Pour moi, f'(x) est supérieur à 0 donc f est croissante donc il n'y a qu'une racine réelle. Est-ce correct ?

Dans la suite de l'exercice on suppose $\lt 0$ et on pose $x0=sqrt−p3x_0 = sqrt{\frac{-p}{3}}$ mais je ne vois pas d'où sort ce $x_0$ , à quoi correspond-il ?

Ensuite il fallait exprimer $f(x_0), f(-x_0) et f(x_0)f(-x_0)$ en fonction de q et $δ\delta$ ce que j'ai fait. J'obtiens $f(x0)=−sqrt−δ+q2+q,f(−x0)=sqrt−δ+q2+qf(x_0) = -sqrt{- \delta + q^2} + q, f(-x_0) = sqrt{- \delta + q^2} + q$ et $f(x0)f(−x0)=δf(x_0)f(-x_0) = \delta$ si je ne me suis pas trompée.

Enfin, il faut déterminer le nombre de racines réelles de f en fonction des paramètres et en conclure une CNS pour que f admette 3 racines réelles (en comptant leur multiplicité).
Le problème est que je ne comprends pas à partir de quoi je peux trouver cela. Quelqu'un pourrait m'expliquer comment démarrer ? Je ne veux pas les réponses, juste un conseil sur la démarche à suivre.

Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de m'aider