Les fonctions logarithmes, je comprends rien



  • Bonjour à tous

    Je suis élève en Terminales ES, et je dois faire un DM de Math pour la rentrée. J'ai des souci de compréhension avec les logarithmes, en bref j'arrive pas trop à cerner comment ça marche!

    Le sujet :

    **On donne les fonctions f et g, définies sur [1;+infinie]
    f(x) = 1,1x + lnx - ln(x+1)

    Etudier les variations de f sur [1;+infinie]. Trouver la limite en +infinie de ln(x/x+1)
    En déduire la lim de f en +infinie.**

    Je sais déjà que l'on me demande d'établir un tableau de signe et en déduire les variation de f. Mais je comprends pas comment on peut faire ça avec des log !

    SVP aidez moi, il faut à tout prix que je remonte mon niveau en math parceque là j'ai une moyenne de 8. Deplus qd on y réféléchit bien les math en ES c'est pas difficiles, il faut tjrs réappliquer la mm méthode. mais ici ça demande un peu plus de bougeote et je ne trouve pas de solution.

    Merci d'avance



  • Bonjour,

    Tout d'abord, quand on te demande d'étudier les variations d'une fonction ( c'est à dire si elle monte ou elle descend et jusqu'ou elle monte et descend) tu va devoir t'interesseren premier lieu au domaine de définition de cette fonction, c'est à dire sur quel(s) intervalle(s) on a le droit de la calculer. Ce qui peut restreindre son domain celà peut être des fractions avec un "x" au dénominateur car on sait qu'une fraction ne peut avoir un dénominateur nul et aussi et c'est le cas ici si il y a des log.
    Un log existe si ce qui est porté au log est STRICTEMENT POSITIF.

    Si tu traduis celà ici on doit avoir:
    x>0 et x+1>0 e qui donne x>0 et >-1 soit x>0, ce qui est en accord avec ton domaine d'étude [1, +infini[.

    Ensuite tu y'interesses à sa dérivée. Tu la calcules en sachant que (ln(x))'=1/x
    (ln(u(x))'=u'(x)/u(x).

    Ensuite tu va t'interresser au signe de sa dérivée, et c'est là l'ilterêt des dérivée c'est qu'elle nous renseigne sur les variations de f et nous donne les points ou elle est max ou min (c'est la ou f' est nulle)

    Tu dois trouver f'(x) = 1,1 + 1/x - 1/(x+1)

    Quand tu dois étudier le signe d'expressions de ce type là, le meilleur moyen et de tout mettre sur le même dénominateur (ici (x(x+1)))

    Ce qui doit te donner:
    f'(x)=(1,1x(x+1) + (x+1) - x)/(x(x+1))
    Tu dévellopes le terme du haut et tu dois trouver:

    f'(x)=(1,1x²+1,1x+1)/(x(x+1)).

    Tu étudies le signe du dénominateur et du numérateur.
    Pour le numérateur c'est une équation du second deg, tu calcules delta et avec un peut de chance il est <0 et donc le numérateur ne changes pas de signe pour le dénominateur tu peux faire un tableaux pour les signes si tu as peur de te tromper.

    Tu mets tout ds ton tableau de signe et tu trouves les variation de f.

    Pour la limite en +inf de ln(x/x+1)à, le pb est que qd x->+inf on ne connais pas la lim de x/x+1. Et la un petit truc de math, si tu écris x/x+1=(x+1-1)/(x+1)=(x+1)/(x+1) - 1/(x+1)=1-1/(x+1), tu sauras vers quoi ça tend...

    Le reste devrais aller...

    En cas de pb n'héste pas...

    Bonne math et penses à bien analyser, l'important en math et de savoir ou on va, et pas le pb qui t'impose son cheminement, c'est à toi de percer sa logique...

    Salut



  • Bonjour,

    Nikel je te remercie, là je viens de comprendre. J'ai résussi à faire le début avec un peu de mal mais j'y suis arrivé; j'obtient une variation croisssante de f ! C bon ?

    Par contre j'ai pas compris le petit truc de math, si tu pouvais me le réexpliquer.

    Merci d'avance



  • Eh bien le petit truc de math c'est tout simplement de mettre 1-1 dans une équation. Etant donné que c'est = à 0 ça ne change rien mais ici ça nous permet de simplifié.
    Comme je l'ai dit on aboutit à 1/x+1=1-1/x+1
    Si tu fais tendre x vers +inf ton (1-1/x+1) tend vers 1 (1/x+1 tendant vers 0). Donc ln(1/x+1))ln(1-1/x+1) tend vers ln(1)=0

    Et voilà, c'est une petite astuce qui peut te sortir de quelques pbs...

    Bonne math et je suis à ta disposition...



  • Ensuite on me demande :

    Montrer que la droite (D) d'équation y=1,1x est une asymptote de la courbe (C). Etudier la position de (C) par rapport à (D)

    J'ai réussi à dire qu'elle était asymptote en faisant lim f(x)- 1,1x = 0
    x -> + infinie

    Mais pour savoir la position je sais pas comment faire : f(x) > ou < 1,1x ? et ensuite on résou ?



  • exactement:

    Tu va chercher le signe de f(x)-1.1x en +inf et si tu trouves que c'est >0 et bien tu auras f(x)>1.1x et le contraire si c'est négatif...

    Voili voilou...

    A ta dispostion...

    Brice... Rimbe



  • Le pb, c'est que qd je fais lim f(x) - 1,1x
    x -> + infinie

    je trouve zéro ce qui signifie que D est asyptote oblique à C. ça ne me dit pas sa position vis l'une de l'autre ?



  • Nan excuse je viens de comprendre.

    En fait faut que je fasse f(x) - 1,1 x ; et que je chercher le signe de son résultat. J'avais pas compris, excuse. Je l'ai fais ce qui me donne C / D sur 1 +infinie



  • Tu dois trouver que f(x)-1.1x<0 soit f en dessous de D.

    Si tu ne comprends pas tu sais quoi faire...



  • Là je comprends plus ,explique un peu stp !



  • Tu as:

    f(x) - 1,1 x =
    1,1x + lnx - ln(x+1) - 1,1x=
    lnx - ln(x+1)= ln((x/x+1))=
    ln(1-1/(x+1)) (en utilisant le petit truc...)

    Tu cherches le signes de celà pour un x très grand:
    Donc x+1>1
    dc 0<1/(x+1)<1
    dc -1<-1/(x+1)<0
    dc 0<1-1/(x+1)<1

    dc ln(1-1/(x+1))<ln(1)=0

    dc f(x) - 1,1 x<0 dc f(x)<1.1x

    voilà... ça va mieux?



  • ouais si sa va un peu mieux, merci ! C'est qd mm pas facile à tout coordonnées en fait !

    PS : excuse pour le retard



  • Bon esuite j'arrive dans uen autre partie du pb :

    P**artie B:

    1. Etudier les variation de g sur 1;+infinie et la limite de g en +infinie
    2. Vérifier que la droite D est une asymptote à la courbe C' (représentatice de g(x) = 1,1x + 1/x )
    3. Tracer C' et D
    4. On pose H (x) = (x+1) ln (x+1) - x lnx** JE SAIS ELLE EST BIZARRE lol

    **Calculer H'(x), en déduire une primitive sur 1;+infinie de la fonction
    i : x ->g(x) - f(x)

    1. Calculer l'intégrale 1 à 5 [g(x) - f(x)] dx . En donner une interprétation graphique.**
      Voilà le souci : J'ai réussi à faire tout jusqu'au 4exclu (sans faire la représentaion graphique). Tu pourrais me donner un petit coups de pouce ! Merci !


  • Salut,

    eh bien si tu dérives ton expression de H(x), tu te rends comptes que c'est pas un hasard si on a demander de la dérivée...

    Je trouve H'(x)=ln(x+1)-ln(x)

    Donc une primitive de ln(x+1)-ln(x) n'est rien autre que H...
    Donc tu devrais pouvoir calculer l'intégrale...
    Et pour l'interprétation n'oublies pas qu'une intégrale c'est l'aire du domaine situé sous la courbe...

    Voilà
    à ton service...

    Brice...Rimbe



  • Ben comment t'as fais la dérivé moi j'ai pas trouvé ça .

    J'ai trouvé : (1/x+1) - (1/x) = H'(x).

    Et qd tu dis que la primite de H' n'est rien autre que H, je suis d'accord avec toi mais faut que je déduise de H' une primitive i(x) = g(x) - f(x) . Comment faire ?



  • On a H (x) = (x+1) ln (x+1) - x lnx

    Si tu dérives (x+1) ln (x+1), c'est une fonction composée qui se dérive comme ça:(uv)'=u'v+uv'

    ((x+1)ln(x+1))'=(x+1)'ln(x+1)+(x+1)(ln(x+1))'=
    ln(x+1)+(x+1)*1/(x+1)=ln(x+1)+1

    Voilà, tu fais pareil avec xlnx et ça devrais s'arranger...



  • En suite j'arrive à la partie C : (comme de par hasard je galère aussi)

    **Les fonctions f et g données plus haut modélisent respectivement la quantité d'objets commandés à cette entreprise. Plus précisément, si t est la date exprimée en semaines, f(t) est la quantité en millier et g(t) la quantité d'objets commands à cette même date en milliers.

    1. Lorque l'on a f(t) supérieur ou égale à g(t), on dit que "la demande est satisafaite à la date t". Démontrer que la demande n'est jamais satisfaite.

    2. On admet que le nombre totale d'objets, en millier, dont la demande n'est pas satisfaite entre les date n et n' avec n'>n est donné pas l'interval de n'à n [g(t)-f(t)] dt. Donner, àun objet près le nombre total d'objets dont la demande n'est pas satisfaite entre les dates 1 et 5.

    3. On considère que le niveau de fabrication est suffisant lorque moins de 20 demandes ne sont pas satisfaites, c'est à dire lorque l'on a : g(t) - f(t) < 0,02. En admettantque g - f est une fonction strictement décroissante sur 1; +infinie, a partir de qu'elle date le niveau de fabrication est-il suffisant?**[/b]



  • Ok je te remercie pour tes conseils. je vais voir ça ce soir et je te dirais quoi demain en début d'aprem. Bonne soirée merci encore



  • Pour la 1) tu montres que la fonction f(t)-g(t) n'est jamais positive.

    pour la 2) tu calcules l'intégrales de g-f entre 1 et 5...

    pour la 3 il faut résoudre g(t) - f(t) = 0,02 ou g(t) - f(t) - 0,02 = 0.



  • Ok merci, j'y vois déjà plus clair !

    Par contre tu pourrais me donner ton email stp. pour que l'on puisse rester en contact !!



  • bmoreau74@yahoo.fr...

    Bonne journée et bonne math!


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