Développement limités et théorème des accroissements finis



  • Salut tous le monde !!

    Bon je suis bloqué sur 2 formules, j'arrive pas a utilisé le développement limités et le théorème des accroissements finis pour la fonction :
    f(x) = x / ( x² + 1 )

    Est-ce qu'on pourrait m'aider s'il vous plait...

    Merci d'avance



  • Salut.
    Si tu veux faire un DL pour les grandes valeurs de u, alors 1/u² est très petit, et en sortant u² du dénominateur tu dois pouvoir développer
    f(u) = 1/u foi/ 1/(1+1/u²)
    avec l'expansion pour 1/(1 + t) lorsque |t| < 1.
    Que veux-tu faire avec les accroisements finis ? la dérivée est-elle bornée ?


  • Modérateurs

    Salut.

    Effectivement, il faut préciser en quelle valeur tu souhaites effectuer ton DL.

    Et en ce qui concerne les accroissements finis, il faut préciser l'intervalle sur lequel tu veux appliquer le théorème(cf. les hypothèses de validité de celui-ci).

    @+



  • Ba en fait, c'est pour calculer la limite en +inf/ que je veux faire ces calcul, et je suis trop a la ramasse la :s



  • Si c'est pour la limite de f en +inf/, il n'y a pas lieu de déployer toute cette artillerie !


  • Modérateurs

    Salut.

    Il n'y a pas de doute 😆 .

    La limite d'une fraction de polynôme est connnue depuis la 1ère ^^: quand x tend vers l'infini, c'est la limite du quotient des polynômes de plus haut degré(ici tu calcules la limite de x/x², donc de 1/x quand x tend vers l'infini).

    Remarque, je peux te proposer une autre démonstration(qui revient à démontrer le théorème du dessus):

    Pour tout x strictement positif,

    x²+1 > x² > 0
    0 < x/(x²+1) < (x/x²=1/x)

    Donc en comparant(théorème des encadrement ou des gendarmes) les limites en l'infini, tu trouves le même résultat.

    @+

    PS: Quoiqu'utiliser un bazooka pour tuer une fourmi ça marche non? ^^



  • C'est claire qu'il y plus simple, et j'ai bien vu qu'il y avait les truc qu'on apprends en première.

    Mais le problème, c'est que je doit le faire avec la grosse artillerie.
    Je m'en passerais bien, mais c'est pour un dossier.

    Merci de m'aider.


  • Modérateurs

    Salut.

    Pour les DL, tu fais comme Zauctore à dit. Vu que le DL de 1/(1+x) se calcule quand x tend vers 0, il faut factoriser l'expression de telle sorte que tu trouves une expression du type une fonction multipliée par 1/(1+1/xβ1/(1+1/x^β) avec β>0, car 1/xβ1/x^β tend vers 0 quand x tend vers l'infini.

    Pour x>0:

    f(x)= x/(1+x²)
    f(x)=x/[x²(1/x²+1)]
    f(x)=(1/x)*(1/(1+1/x²))

    A partir de là, tu fais le DL de 1/(1+1/x²) en +∞ par composition en posant(ou pas car c'est une perte de temps) X=1/x². Ca n'est plus que du calcul bourrin, mis à part l'ordre du DL(ça ne sert à rien d'aller trop loin dans son développement).

    @+



  • Jeet : Webmater Th nous a mis le symbole foi/ :
    c'est foi./ où tu enlèves le point.


  • Modérateurs

    Salut.

    Je sais, mais je trouve le symbole foi/ trop proche de x ou X. Personnellement ça m'embrouille quand je me relis.
    f(x)=(1/x)foi/(1/(1+1/x²))


    En ce qui concerne la formule des accroissements finis, je rappelle donc son expression:

    Etant donnés des réels a et b tels que a est strictement inférieur à b, ainsi qu'une fonction f continue sur [a;b] et dérivable sur ]a;b[, il existe un réel c appartenant à ]a;b[ tel que:
    f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)

    Le problème est donc que x tend vers l'infini. A partir de là, en faisant tendre b vers l'infini, on a (b-a)f'(c)+f(a) qui tend vers l'infini. Donc f(b) tendrait vers l'infini... ce qui n'est pas le cas, vu que f(b) est "censé" tendre vers 0. A moins que je ne me soie trompé, on aperçoit dans ce cas les limites du théorème, ainsi que l'importance des hypothèses.

    @+



  • Merci Jeet pour ton aide, tu m'a beaucoup aidé pour mon dossier 😄


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