Triangles héroniens particuliers

Bonjour à tous,
Voici le problème : on cherche tous les triangles dont les côtés sont mesurés par 3 nombres entiers
consécutifs( je les ai nommés a-1, a, et a+1), et dont l'aire ( que j'ai nommée S ) est mesurée par un nombre entier.
Voici ma solution :
n et k sont deux entiers définis par récurrence à partir de la solution "fondamentale" : n = 2 et k = 1 par :
n' = 2n+3k et k' = n+2k.
Ainsi, partant de la solution (2;1) , on obtient la nouvelle solution (7;4).
Puis on obtient a =2n ( d'où a-1 et a+1) et S = √[(3n²)(n²-1)] .
Ainsi, pour la solution (2;1) , on obtient a = 4 , d'où a-1 = 3 et a+1 = 5 , et S = 6.
Pour la solution (7;4) , on obtient a = 14 ( d'où a-1 = 13 et a+1 = 15 ) , et S = 84.
Et ainsi de suite.
Mes questions sont les suivantes.

Ma méthode fournit-elle toujours des solutions ?
Fournit-elle
toutesles solutions ?

Merci à ceux qui voudront bien m'éclairer.

Personne ?

Up !

Hello,

Je suppose que tu es parti de la formule de Heron pour déterminer cette formule ci : S = √[(n²)(n²-1)]. C est bien cela ?

Oui : S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
où p est le demi-périmètre et a,b,c les côtés.

Si je reprends bien on a p = 3a
donc S = √3a2a(2a-1)*(2a+1)
= √6a²(4a²-1)
Je ne vois pas comment tu es parvenu a ton resultat...
Tu as a = 2n, comment tes coefficients disparaissent ils ?

P est le
demi-périmètre, pas le périmètre.

Oui je viens de voir ca... desolé pour ce post inutile

Pas de mal : cela me permet aussi de vérifier mes calculs.

Je suis en train de refaire les calculs mais mon 3 ne disparait pas... Je dois faire une erreur de calcul, je crois :
$\sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a}{2}-(a-1))(\frac{a}{2})(\frac{3a}{2}-(a+1))} )$

$a=3a24(a24−1)a=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}(\frac{a^{2}}{4}-1)}$

En remplacant a par 2n mon denominateur disparait.. mais mon 3, c'est autre affaire...

Sinon tu as essayé de faire un raisonnement par l'absurde? Supposez qu'il existait un a défini tel que tu le fais pour que S ∈ $mathbb{R}$ / $mathbb{N}$ ?

Désolé : je viens de vérifier, le 3 reste bien.
S = √(3n²(n²-1))
Encore désolé, mais je crois qu'il s'agit d'une faute de frappe initiale, car dans la suite de mon raisonnement, j'ai bien utilisé ce 3 : vérifie sur les exemples numériques que je donne.
Je corrige mon premier message en conséquence.

Un raisonnement par l'absurde me permettrait-il d'aboutir à un résultat explicite ?
Pas sûr car il y a évidemment des solutions non entières.

Pas de souci.. c est pour mieux comprendre tout ca...

Un raisonnement par l'absurde te permettrait de justifier que les solutions proposés donnent les bonnes solutions mais pas que tu as toutes les solutions. Mais ca repondrait a ta premiere question. Apres il faut reussir à montrer cela, et à arriver à une absurdité ce qui n'est pas évidemment. Peut etre en montrant d'abord que S ne peut pas etre rationnelle et ensuite exclure les irrationnels egalement.

Je ne comprends pas : il existe évidemment des n pour lesquels S est irrationnel : ça ne répond pas à la question : on souhaite que S soit entier.

Oui mais en raisonnant par l absurde tu supposes que n appartient a la suite de n que tu as défini. et tu supposes que l'aire n'est pas en entier malgré tout. Un raisonnement par l absurde en somme.

Je ne vois pas comment procéder : les raisonnements par l'absurde sont toujours difficiles, car s'il est aisé de poser les hypothèses, celles-ci doivent conduire à une contradiction : mais
quellecontradiction ??
Rien à voir avec un raisonnement par contraposée où on sait ce qu'on veut obtenir.

Je préfère un raisonnement direct.
Il est aisé de vérifier par récurrence que n²-1 = 3k²
D'où il résulte que S est entier.
Est-ce correct ?

Selon moi, et ce n'est vraiment que mons avis, ta facon de faire ne démontre pas que tu as toutes les solutions. Mais, cela permet de montrer que tu as en tout cas une partie des resultats. Il faudrait trouver un moyen d'exclure tous les autres "n" qui ne donnent pas le résultat escompté.

Bien sûr, mon problème n'est pas de résoudre ce problème ...
J'ai une méthode dont j'ai déjà dévoilé une partie. Si je dévoile tout, je risque d'influencer quiconque tenterait une approche différente.
Ma question est de savoir si quelqu'un d'autre , résolvant le problème
à sa manière, aboutit aux mêmes conclusions ( les solutions que je fournis sont-elles les seules ? ).