Montrer qu'une suite est majorée et convergente

Bonjour, j'ai un dm de maths et je bloque sur cet exercice :

On considère la suite (Un) définie par U0 = 1 et Un+1 = (3/4) Un + 2

Tracer dans un repère orthonormal les droites D d'équation y=3/4x +2 et delta d'équation y=x. Calculer les coordonnées du point d'intersection A.
On sait que U0 = 1 donc U0 < 8
Montrer que si Up < 8 alors on a aussi Up+1 < 8
Montrer que (Un) converge vers 8

Aidez-moi svp
Merci

salut
Citation
2) On sait que U_0 = 1 donc U_0 < 8
Montrer que si U_p < 8 alors on a aussi U_{p+1} < 8
as-tu essayé un raisonnement par récurrence ?

Ok alors pour le 2) j'ai fait avec le raisonnement par récurrence et je trouve bien que Up+1 < 8

Mais pour le 1) Calculer les coordonnées du point d'intersection A. Je ne vois pas comment faire

Pourriez-vous m'aider svp
Merci

oui

l'intersection des deux droites ? il suffit de résoudre 3/4 x + 2 = x.

Ok alors 3/4 x + 2 = x
x=8
et l'ordonnée est égale à son abscisse donc 8
Donc A(8,8)

Et pour la question 3, je ne vois pas ce que veut dire converger ?

converger vers 8 : la limite de la suite est 8.

il faut prouver que lim U_n = 8 lorsque n tend vers +∞

ie que lim (U_n - = 0.

il n'y a pas de question intermédiaire ?

Si il faut montrer que la suite (Vn) définie par Vn=Un-8 est géométrique
et exprimer Vn en fonction de n, puis Un en fonction de n
Mais je ne l'ai pas mis car je sais comment faire mais je ne l'ai pas encore fait

Sinon merci j'ai compris il faudra que je calcule la limite quand n tend vers +∞ et montrer que c'est égale à 8

oui mais il faut le faire grâce aux indications fournies par les questions intermédiaires avec la suite V_n

montrer que V_n est géométrique : il suffit que tu exprimes V_{n+1} en fonction de V_n (en fait tu dois trouver un coefficient q -la raison- tel que V_{n+1} = q × V_n).

essaie pour voir.

Oui c'est bon je sais comment faire mais je le ferais demain car là je suis trop fatigué mais je reviendrais le mettre demain

Re bonjour,
alors pour montrer que Vn=Un - 8 est géométrique j'ai calculé
Vn+1 = 3/4 Vn

Ensuite Vn = -7 × $3/4)^n$

Et enfin Un = 8 + (-7× $3/4)^n$ )

Donc lim quand n tend vers +∞ de Un = 8
Donc Un converge vers 8

ok !

Ok
Merci beaucoup pour votre aide