relation d'ordre et equivalence exo dificile

Bonjours à tous,

On considère, sur l’ensemble $mathbb{N}$ ², la relation suivante, pour tout couples (n,m) et (n',m') de $mathbb{N}$ ². On utilise la notation n Λ m = min(n,m).
(n,m) < (n',m') équivaut (n Λ m < n' Λ m') ou (n Λ m = n' Λ m' et n≤n' et m≤m').

Sa veut dire quoi ce symbole Λ???

Montrer que tous couples (n,m) et (n',m') de $mathbb{N}$ ² tels que (n,m) < (n',m')on a nΛm≤ n'Λm'.
Montrer que < est une relation d'ordre $mathbb{N}$ ².
Les éléments (0,1) et (1,0) de $mathbb{N}$ ² sont-ils comparables? la relation< est elle totale sur $mathbb{N}$ ²??
comparer ( 1,1) et (1,2).
Montrer que $mathbb{N}$ ² admet un plus petit élément et le déterminer. Existe-t-il un minorant de {(1,0);(0,2)}?
Déterminer les élément de $mathbb{N}$ ² qui sont plus grands que (1,2) et les représenter graphiquement.

J'ai beau relire mon cours mais je ne sais pas du tout comment faire?! J'ai pas d'exercice types entre les mains!
J'aurai besoin de votre aide pour me guider.

Merci

Bonjour,
On ne peut pas lire le symbole représenté par un petit carré.
Soit plus explicite dans les notations.

C'est bon j'ai édité. J'ai fais ce que tu ma demander.

Ben non :
Citation
On utilise la notation n∧m=min(n,m).
(n,m)<(n',m') ⇔ (n Λ m < n' Λ m') ou (n Λ m=n' Λ m' et n≤n' et m≤m').

Je vois toujours le symbole illisible, à deux endroits ( et je pense qu'en plus il s'agit de deux symboles différents ).

Enfin j'espère que c'est bon!

Le premier symbole définit donc l'opération Λ .
L'autre petit carré serait-il l'équivalence ?

Pour la première question : il y a deux cas possibles :

ou bien nΛm < n'Λm' auquel cas ...
ou bien .....

je ne vous pas de petit carré mais ça doit être l'équivalence pour vous.

Celui-ci :
Citation
(n,m) < (n',m') ⇔ (n Λ m < n' Λ m')

(n,m) < (n',m') équivaut (n Λ m < n' Λ m')

sans oublier le "ou ..."

Tu peux maintenant répondre à la question 1 comme déjà indiqué :
Citation
Pour la première question : il y a deux cas possibles :

ou bien nΛm < n'Λm' auquel cas ...
ou bien .....

ou bien nΛm < n'Λm' auquel cas (nΛm < n'm')

ou bien nΛm < n'Λm' auquel cas (nΛm=n'Λm')

c'est bon??

Non : tu envisages deux fois la même chose avec des résultats contradictoires.
Pour bien comprendre, commence par prendre des exemples :
a) (3,5) < ( 4,5) : explique pourquoi.
b) (2,8) < (2,9) : explique pourquoi
c) (3,2) < (1,4) est faux : pourquoi ?

si je prend ton exemple:
a) 0,5=0,5 et 3<4 en additionnant sa donne (3,5) < ( 4,5)
b) de même pour b
c) 1,4=1,4 1,8<0 impossible

c'est bien ça?

Je ne comprends pas ni ton 0,5 ni tes "additions"
La définition du symbole Λ est : nΛm = min(n,m)
Ainsi, 3Λ5 = 3 et 4Λ5 = 4
Donc 3Λ5 < 4Λ5
Il en résulte selon la définition de la relation < sur les couples que
(3,5) < (4,5) ( c'est l'un des deux cas de la définition )

Attention : dans ton problème le signe < a deux significations :
l'inégalité usuelle dans N : 3 < 4
et la relation entre les couples : (3,5) < (4,5)

Reprends de même les exemples b) et c)

je pense enfin avoir compris!
b)(2,8)<(2,9)
2Λ8 =8 et 2Λ9 =9

donc 2Λ8 < 2Λ9

c)(3,2) < (1,4)

3Λ2 =2 et 1Λ4 =1

impossible car 2<1

Non dans le b) il y a des erreurs : 2Λ8 = 2 ( le plus petit ) et pas 8
De même 2Λ9 = 2
Ici, 2Λ8 = 2Λ9 : donc on est dans le second cas :
(n,m) < (n',m') équivaut (n Λ m < n' Λ m') ou (n Λ m = n' Λ m' et n≤n' et m≤m').
La vérification n'est donc pas terminée.

Achève et on verra le c) après

(n,m) < (n',m') alors, en posant en posant n=min(n,m) et min(n'm')

soit n < n', soit n=n' => min(n,m)≤min(n',m')

Citation
en posant n=min(n,m)Non : tu ignores si le plus petit est n ou m en général.
Ici : on est dans le cas n Λ m = n' Λ m' = 2
Il faut donc regarder si n≤n' et m≤m'
Or : n = 2 , m = 8 , n' = 2 , m' = 9
On a bien n≤n' ( ici = ) et m≤m'

Reprends le c) : tu dois montrer que ni le premier cas ni le second ne sont satisfaits

n=min(n,m)et m'=(n',m')
alors soit n < m',
soit n = m' et {n <= n' et m=m'}, donc on a min(n,m) <= min(n',m').

C'est bon?

Non : tu dois traiter un exemple numérique .
Est-ce que (3,2) < (1,4) ?

Pour cela, applique la définition de la relation "<" :
Commence par calculer :
3Λ2 = ?
1Λ4 = ??
Ensuite, regarde si tu te trouves dans le cas nΛm < n'Λm' ou dans le cas nΛm = n'Λm'