Devoir Maison: Continuité

Bonjour à tous,

Je demande de l'aide car j'ai un exercice que je ne comprends pas, mais particulièrement la question 1 et 2

Un Cas Non polynomial

On souhaite dénombrer et localiser le mieux possible les solutions sur [1; + $∞\infty$ [ de l'équation (E x² = 1/x+1. On considère ainsi la fonction f définie sur [1; + $∞\infty$ [ par f(x)= x²-1/x.

Vérifier que résoudre (E) revient à résoudre l'équation f(x)= λ, pour un réel λ que l'on déterminera.

2)Calculer f'(x). Quel est son signe?

Calculer f(1) et f(2)

4)Dénombrer et situer les solutions de l'équation f(x)=1 (on pourra dresser le tableau de variation de f).

5)Déterminer un encadrement à 0.01 près de l'unique solution α de (E) sur [1; + $∞\infty$ [.

Donc :

Je ne vois pas comment répondre . Pour trouver λ dans mon cours il faut faire un tableau de variation avec les limites, mais je ne pense pas que c'est ça.
f'(x)= 2x³+1/x²
Je trouve que f(x) est strictement positif. Mais je sais pas comment faire pour trouver les valeurs annulatrices ou interdites.

Pour les questions 3 et 4, je serai me débrouiller toute seule! Mais la 5, je ne suis pas sûre que la question veuille dire qu'il faut trouver la racine de 1. Si c'est cela, est-ce qu'on peut s'aider de la calculatrice?

Aidez moi s'il vous plait!
Merci D'avance

Bonjour,
C'est bien x² = (1/x) + 1 et pas x² = 1/(x+1) ?
Dans le premier cas : x² = 1/x + 1 <=> x² - 1/x = 1 Tu ne vois pas λ ?

C'est bien le premier cas.
Si je comprends bien λ=1 ????

Oui.
Tu sais faire la 3 et la 4 ?
Pour la 5 , ton tableau indique qu'ily a une seule racine comprise entre 1 et 2.
Tu peux t'aider de la calculatrice pour calculer d'autres valeurs de f afin de resserrer l'intervalle où se situe a.

Dans la question 1, Je dois répondre que : (E): x²=1/x +1 ⇔x²- 1/x= 1
On remarque que E(x)= f(x) ???? N'est- ce pas??

Les questions 3 et 4, je sais faire! Pour la 4, je reprends le tableau de signe pour avoir les variations!

Non :

E est une équation : il n'y a pas de "E(x)".
f(x) = x² - 1/x

Tu as calculé f(1) et f(2)
Quelles réponses obtiens-tu ?

Mais je ne vois pas comment je dois rédiger ma réponse pour la 1)?

f(1)=0 et f(2)= 7/2

Pour la 1 : x² = 1/x + 1 <=> x² - 1/x = 1
et puisque f(x) = x² - 1/x,
E <=> f(x) = 1.
On peut donc écrire ( si on veut ) f(x) = λ avec λ = 1

Pour la 5 :
Tu as f(1) = 0 < 1 et f(2) = 7/2 >1
Or, f est continue sur [1 ; +∞[ , donc il existe a
entre 1 et 2tel que f(a) = 1
Donc la racine a que l'on cherche est comprise entre 1 et 2 .
Mais on souhaite un encadrement plus précis.
C'est pourquoi je t'ai proposé de calculer d'autres valeurs de f, pour des valeurs de x comprises évidemment entre 1 et 2.
Par exemple, calcule f(1,5).

Merci pour la question 1

La question 5 j'ai répondu avec la calculatrice f(1)≈1,35

Mais pour la question 2 pouvez vous m'aider??

Bonjour,

f(x)= x² - 1/x

Quelle est la dérivée des fonctions de réf :

x → x²

x → 1/x

donc quelle est la dérivée f ?

PS : Ne pas oublier d'introduire que la fonction est dérivable sur l'intervalle en question.

f'(x²) = 2x
f' (1/x)= -1/x²

Mais le problème est que l'on ne peut pas faire un tableau de signe avec une somme? Alors comment faire?

Oui, c'est correct.

Mais tu n'as pas calculé f'(x) = ?

f(x)= x²
-1/x

donc

f'(x) = 2x - (-1/x²) = 2x +1/x²

C'est une somme effectivement. Mais puisque l'ensemble de définition de f est [1 ; +∞[ , tu devrais t'en tirer ...

bonne soirée

Citation
La question 5 j'ai répondu avec la calculatrice f(1)≈1,35
Non : reprends ton calcul ( ici sans calculatrice ! )

Iron
f(x)= x²
-1/x

donc

f'(x) = 2x - (-1/x²) = 2x +1/x²

C'est une somme effectivement. Mais puisque l'ensemble de définition de f est [1 ; +∞[ , tu devrais t'en tirer ...

bonne soirée

Mais on peut pas faire un tableau de signe avec une somme.
Donc, j'ai tout mis sur le même dénominateur et je trouve 2x³+1/x²
Mais je ne sais pas résoudre 2x³+1 pour avoir mes valeurs annulatrices. Comment je fais??

Pour la question 5 , j'ai utilisé la calculatrice pour avoir la racine de 1 et j'ai trouvé environ 1,35.

Pour f '(x) : c'est une somme de nombres ... ?

Pour la question 5 : f(x) = x² - 1/x
Donc f(1) = 1² - 1/1 = ...

Mais on ne cherche pas f(1) c'est dans la question 3 et j'ai trouvé 0, mais plutôt f(x)=1!

Oui, je comprends que f'(x) est une somme, mais pour faire un tableau de signe il faut avoir un produit, n'est ce pas???

Citation
La question 5 j'ai répondu avec la calculatrice f(1)≈1,35Désolé, mais ici je vois écrit f(1) : attention aux confusions.

Pour le signe de f '(x), tu n'as pas répondu à ma question : f '(x) est une somme de deux nombres ; mais dans l'intervalle considéré, comment sont ces deux nombres ?

Quant à la question 5, on te demande a à un centième près ( encadrement ) : 1,35 est trop imprécis.

Désolé pour mon erreur!

Dans l'intervalle les deux nombres sont positifs!?

Mais dans mes anciens exercices de cours qui ressemble à la question 5, nous faisons comme cela, mais nous précisons avant l'encadrement!

f '(x) est une somme de deux nombres positifs ( dans l'intervalle utilisé ) , donc f '(x) est positive, donc f est croissante.
f(1) = 0 et f(2) = 7/2 .
Donc a est compris entre 1 et 2. Mais ce n'est pas la précision demandée.
Tu as calculé f(1,35) ? donne ta réponse .

Pour trouver la racine de f(x)=1 , j'ai utilisé Graph sur ma calculatrice mais les valeurs étaient très approximatives. J'ai trouvé f(1,35)≈1,07 (c'est la valeur la plus proche)

Je trouve f(1,35) plus proche de 1,08
Mais pour obtenir ton encadrement, tu dois donner
deuxvaleurs.
Calcule f(1,32) avec la calculatrice :
f(1,32) = (1,32)² - 1/1,32 ≈ ...
Puis calcule f(1,33)

f(1,32)≈0,98 et f(1,33)≈1,01. Donc je donne comme réponse cet encadrement, c'est cela?

Précise :
f est continue est croissante sur [1 ; +∞[,
f(1,32) ≈0.98 <1
f(1.33) ≈1.01 >1
Donc f(x) = 1 admet une racine unique a dans l'intervalle , et a est compris entre 1.32 et 1.33 : 1.32 < a < 1.33

Merci beaucoup pour votre aide!!!

De rien
A+