Etude de limites et asymptotes d'une fonction rationnelle


  • M

    Bonjour, j'ai un dm de maths et je bloque sur cet exercice :

    f est la fonction d¨¦finie sur ]0;+∞[ par :

    f(x) = (x+50) + (1200x +50 ) / (x²)

    C est sa courbe représentative

    1. a) Etudier la limite de f en 0 et en +∞
      b) Montrer que pour tout x > 0 f'(x) = g(x) / x³ où g(x) = x³ - 1200x - 100
      c) Etudier les variations de f

    2. a) Montrer que la droite d d'équation y = x + 50 est asymptote à la courbe C


  • Zorro

    Bonjour ,

    Pour la première question (les limites) il faut que tu étudies les limites de

    x+50 et de (1200x +50)/x²

    Puis par addition tu trouveras les réponses

    Pour la 2 , il faut commencer par calculer f '(x) ... . Alors au travail et donne nous ce que tu trouves pour f '(x)


  • M

    Pour le 1) a) je n'arrive pas à trouver la limite de f en +∞
    j'ai calculé la limite de x+50 = +∞
    et la limite de (1200x + 50) / x² = +∞
    et donc on fait la limite d'une somme, donc c'est (+∞) + (+∞) mais c'est impossible
    Pourriez-vous m'aidez svp
    Merci d'avance


  • M

    Ah non c'est bon j'ai trouvé,
    la limite quand x tend vers +∞ (1200x + 50) / x² = 0
    et lim (x+50) = +∞
    Donc lim (x+50)+ (1200x+50)/x² = +∞

    Mais après je suis bloqué
    pour le 1) b) je trouve f'(x) = 1 + (1200 / 2x)
    Mais je ne vois pas comment faire pour trouver que c'est égal à g(x) / x³ où g(x) = x³ - 1200x - 100

    Pourriez-vous m'aidez svp
    Merci d'avance


  • Zorro

    Il semble que ta dérivée soit fausse !

    Tu nous donnes tes calculs , qu'on regarde où sont tes erreurs !


  • M

    A oui j'ai trouvé mon erreur, en fait il faut utiliser la formule (u/v)'
    Donc f'(x) = 1 + (-1200x - 100)/x³
    f'(x) = (x³ -1200x -100)/x³
    f'(x) = g(x)/x³

    Pour la 1) c) c) Etudier les variations de f
    Je pense qu'il faut calculer le trinôme (x³ - 1200x -100)
    Mais je ne suis ps sûr

    Pourriez-vous m'aider svp
    Merci


  • Zorro

    En effet pour étudier les variations de f , il faut étudier le signe de f '(x) qui dépend de celui de g(x) qui n'est pas un trinôme du second degré , donc pas de discriminant etc ...

    Il n'y a rien dans le usjet pour te guider vers l'étude du signe de g(x) ....


  • M

    Si il suffit de calculer g'(x)
    g'(x) = 3x² - 1200
    j'ai calculé delta = 14400
    Donc le trinôme admet 2 racines -20 et 20
    Donc si x ∈ [-∞;-20] ∪ [20;+∞] alors g'(x) est positif
    si x ∈ [-20;20] alors g'(x) est négatif


  • M

    Re bonjour,
    j'aurais besoin d'aide pour la question 1) c) Etudier les variations de f

    Aidez-moi svp
    Merci d'avance


  • Zorro

    Alors g'(x) ≤ 0 pour 0 ≤ x ≤ 20 et g'(x) > 0 pour x > 20

    donc g décroissante sur [0 ; 20] avec g(0) = -100 et g(20) = -16100

    et g croissante sur [20 ; +∞[ avec limite de f(x) en + ∞ vaut +∞

    Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel α tel que f(α) = 0

    et avec la fonction TABLE De la calculatrice 34 < α < 35

    Donc si x < α alors g(x) < 0 et si x > α alors g(x) > 0

    Or f '(x) a le même signe que g(x) ..... d'où les variations de f

    Ce n'et pas évident pour un élève de Ter ES sans indice !


  • M

    Donc si j'ai bien compris,
    f est décroissante sur [0;35] et croissante sur [35;+∞[

    C'est ça ?


  • Zorro

    Ce n'est pas sur [0 ; 35 ] mais sur [0 ; α]

    Et il n'y avait aucune question intermédiaire du genre étudier la fonction g et trouver un encadrement de l'unique solution de g(x) = 0 dans [??? ; ???]


  • M

    A oui d'accord parce que c'est une valeur approchée

    Sinon si il y a une question de ce genre là mais bien avant et j'ai réussi à la faire

    Merci pour votre aide 😄


  • Zorro

    Alors la prochaine fois n'oublie pas de nous donne rles questions que tu as faites car cela nous évite de les refaire ! et tout le monde gagne du temps , en particulier les bénévoles qui aident gratuitement les autres !


  • M

    OK 😄


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