Etudier la monotonie et la convergence d'une suite

[Sourire62]

Bonjour,

Soit (Un) la suite telle que :

U0=1.5
Un+1=Un²-3Un+4 pour tout n € N

1)a) Représenter les premiers termes de la suite à l'iade de la représentation graphique d'une fontion que l'on identifiera
b) En visualisant les premiers termes à l'aide de la calculatrice, quelle conjecture peut-on en tirer concernant la monotonie?
c) Démontrer la conjecture et donner un éventuel majorant ou minorant.

2. Le but de la question est de montrer que la suite (Un) est magorée par 2.
   a) Montrer que pour tout n € N, Un+1-2=(Un-1)(Un-2)
   b) En déduire que si un terme quelconque Un est inférieur à 2 alors le suivant Un+1 l'est aussi.
   c) Comparer U0 à 2 puis conclure par un raisonnement de proche en proche.

3. a) f(x)=x²-3x+4 sur [0;+l'infini]
   b) On peut dire que sur l'intervalle ]-l'infini;1] la fonction est décroissante & sur l'intervalle ]2;+l'infini] elle est croissante
   c) Un+1-Un = Un²-3Un+4-Un=Un²-4Un+4=(Un)²-2+Unx2+2²)=(Un-2)²> ou égale à 0 pour tout n
   Donc Un+1> ou égale à Un pour tout n
   Donc Un est croissante

C'est correct?

2)a) (Un-1)(Un-2) =(Un)²-2Un-Un+2=Un²-3Un+2

Un+1-2=Un²-3Un+4-2=Un²-3Un+2=(Un-1)(Un-2) On retrouve la factiorisation de (Un-1)(Un-2)

Es-ce correct? Merci

Amicalement