Equations 1er degré à trois inconnues



  • Bonjour,

    Je suis étudiant en licence 3 d'informatique et nous avons eu à résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues que voici :

    -0,4x + 0,25y + 0,1z = 0
    0,3x - 0,6y + 0,15z = 0
    0,1x + 0,35y - 0,25z = 0

    Le professeur n'a pas détaillé les calculs mais au final il a dit que les résultats étaient les suivants :

    x = 13/47 = 0,277
    y = 12/47 = 0,255
    z = 22/47 = 0,468

    Mon problème, c'est que je n'arrive pas à faire les calculs intermédiaires et que j'aurai la semaine prochaine un contrôle où j'aurai à refaire des calculs du même type donc j'aimerais bien que quelqu'un m'indique comment faire svp

    Mon professeur m'a dit de commencer ainsi :

    Posons z = α

    On prend les deux premières équations ça nous donne :

    -1,2x + 0,75y = - 0,3α
    1,2x - 2,4y = -0,6α

    Ensuite j'ai fait :

    -1,2x + 0,75y + 1,2x - 2,4y = -0,3α - 0,6α
    On enlève les x donc il reste
    -1,65y = - 0,9α
    y = 0,5454α

    Je remplace y par ce que j'ai trouvé avec α :
    -0,4x + 0,25(0,5454α) = -0,1α
    -0,4x = -0,13635α - 0,1α
    0,4x = 0,23635α
    x = 0,590875α

    Je remplace tout par α dans la 3ème équation :
    0,1(0,590857α) + 0,35(0,5454α) - 0,25α = 0

    Mais après je suis complètement bloqué parce que je n'arrive pas à trouver les mêmes résultats que ceux donnés en cours donc je suppose qu'il y a une erreur dans mon raisonnement...

    Merci d'avance à la personne qui pourra m'aider 😄



  • Bonjour,

    Pour commencer je ne vois pas l'interêt de remplacer z par a. Ce changement de variable n'apporte rien mais supposons...

    Citation
    0,1(0,590857α) + 0,35(0,5454α) - 0,25α = 0

    Tu arrives à l'équation ci dessous, il suffit de développer et de réduire.

    La méthode employée n'est pas la bonne. Pour résoudre, un système de trois équations à trois inconnus, il faut essayer d'utliser la méthode du pivot de Gauss. Cette methode peut sembler plus compliquer alors qu'en fait c'est ce qu'il y a de plus simple pour résoudre ce genre de système.

    Je te conseille de lire http://fr.wikip...vot_de_Gauss

    En l'applicant a ton système, tu obtiens une matrice de ce type :
    (0.4amp;0.25amp;0.1 0.3amp;0.6amp;0.15 0.1amp;0.35amp;0.25amp;)\begin{pmatrix} 0.4 & 0.25 & 0.1 \ 0.3& -0.6 & 0.15 \ 0.1& 0.35& -0.25 & \end{pmatrix} = (0 0 0)\begin{pmatrix} 0\ 0\ 0 \end{pmatrix}

    De là, tu cherches à faire apparaitre le triangle :).
    La facon dont tu cherches à resoudre le système de posera problème dès lors que tu auras des calculs longs et complexes.



  • Merci ! J'ai suivi votre conseil, j'ai multiplié la ligne 1 par -0,75 pour l2 et par -0,25 pour l3 ce qui donne :

    (0.4amp;0.25amp;0.1 0amp;0.7875amp;0.075 0amp;0.2875amp;0.275amp;)\begin{pmatrix} 0.4 & 0.25 & 0.1 \ 0& -0.7875 & 0.075 \ 0& 0.2875& -0.275 & \end{pmatrix} = (0 0 0)\begin{pmatrix} 0\ 0\ 0 \end{pmatrix}

    mais je ne comprends pas dans l'exemple de wikipedia pourquoi une fois cette étape effectuée on multiplie la 2ème ligne par 1/5 ? Est-ce pour que le nouveau pivot vale 1 ? Dans ce cas, il faudrait que je passe de -0,7875 à 1 donc en multipliant par -1,26984127 ?

    Merci d'avance



  • Bonjour,

    Si tu arrives a cela c'est deja bien :).

    Maintenant tu dois conserver la ligne 1 et la ligne 2. On va faire des operations sur la ligne 3 en utilisant la ligne 2.

    tu dois faire une opération du type :
    L3 <- aL2 + b L3

    A toi de trouver, les coefficients a et b, sachant que le but est de faire disparaitre le 0.2875.


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