Qui s'y connait en limites ???!!



  • Bonjour !

    je suis un peu en galère avec un exo de maths (ou plutot avec les maths en général 😁 ) pour un DM et ca serait sympa que qqun puisse m'aider à résoudre cet exo, ou du moins m'expliquer comment faire... 😕

    On a: F(x)=x^3-3x²+44/27

    1.1) Etudiez le sens de variation de f, et precisez la limite de F en " + l'infini" et en " - l'infini".

    1.2)Deduisez-en que F possede deux extremums locaux; calculez ces extremums.

    1.3) Demontrez alors que l'équation F(x)=0 possede une solution dans chacun des intervalles ]-1;0[ , ]0;1[ , ]2;3[ .

    2.1) Déterminez trois réels a,b,c tels que pour tout x reel on ait:

    F(x)= (x+2/3) (ax²+bx+c)

    2.2) Résolvez l'équation F(x)=0 et verifiez que les solutions sont bien situées dans les intervalles de la question 1.3)

    J'ai beau relire mon cours, me renseigner sur le net, et chercher dans mon bouquin... tout ça n'est qu'un invraisemblable charabia pour moi 😕 (excepté pour le sens de variation que je pense avoir bien fait), alors un grand MERCI a celui ou celle qui prendra un peu de temps pour me venir en aide ! 😄null



  • Kiyoi
    On a: F(x)=x^3 - 3x² + 44/27

    1.1) Etudiez le sens de variation de f, et precisez la limite de F en " + l'infini" et en " - l'infini".

    Avec la dérivée, f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2).
    L'étude de son signe est facile :
    f' est positive sur ]-inf/ ; 0[ et sur ]2 ; +inf/[. Sur ces intervalles, la fonction f est croissante, et elle est décroissante entre 0 et 2.

    Pour les limites, il est clair que la factorisation
    f(x) = x^3(1 - 3/x + 44/(27x^3))
    montre que f(x) tend vers +inf/ lorsque x tend vers +inf/, et tend vers -inf/ lorsque x tend vers -inf/.



  • Kiyoi

    1.2)Deduisez-en que F possede deux extremums locaux; calculez ces extremums.
    Aux points où la dérivée s'annule, le tableau de variation montre que f possède des extrema locaux ; précisément
    f(0) = 44/27 est un maximum local
    f(2) = -64/27 est un minimum local.



  • Kiyoi
    1.3) Demontrez alors que l'équation F(x)=0 possede une solution dans chacun des intervalles ]-1;0[ , ]0;1[ , ]2;3[.

    On a f(-1) < 0 et f(0) > 0 de signes contraires. La fonction f étant continue, elle s'annule au moins une fois sur l'intervalle ]-1 ; 0[. En fait elle ne s'y annule qu'une fois, car la fonction f y est strictement croissante.
    C'est le théorème des valeurs intermédiaires qui s'applique.
    etc...



  • Kiyoi
    2.1) Déterminez trois réels a,b,c tels que pour tout x reel on ait:
    F(x)= (x+2/3) (ax²+bx+c)
    Algèbre pure.
    On trouve après calculs ou astuces
    a=3, c=22/9 et b=-5
    si je ne me suis pas trompé...
    En tout cas, la méthode systématique dont l'élève empétré peut avoir besoin consiste à développer et réduire avec soin
    (x+2/3) (ax²+bx+c)
    pour ensuite comparer cette nouvelle expression avec a, b et c à la forme x^3 - 3x² + 44/27 donnée par l'énoncé... cela s'appelle pompeusement "l'identification des coefficients".



  • ouf, c'est la fin
    2.2) Résolvez l'équation F(x)=0 et verifiez que les solutions sont bien situées dans les intervalles de la question 1.3)
    On se sert de la forme ainsi factorisée à la question 2.2)
    En effet, il suffit que
    x = - 2/3
    ou bien que
    ax² + bx + c = 0
    avec a, b et c déterminés. Il suffit de résoudre une équation du second degré.

    @+



  • Zauctore
    Kiyoi
    2.1) Déterminez trois réels a,b,c tels que pour tout x reel on ait:
    F(x)= (x+2/3) (ax²+bx+c)
    Algèbre pure.
    On trouve après calculs ou astuces
    a=3, c=22/9 et b=-5
    si je ne me suis pas trompé...
    En tout cas, la méthode systématique dont l'élève empétré peut avoir besoin consiste à développer et réduire avec soin
    (x+2/3) (ax²+bx+c)
    pour ensuite comparer cette nouvelle expression avec a, b et c à la forme x^3 - 3x² + 44/27 donnée par l'énoncé... cela s'appelle pompeusement "l'identification des coefficients".

    Merci de l'aide pour l'exo, ca m'a franchement bien aidé !!! 😄

    Par contre, je n'ai pas trouvé pareil à cette étape là, j'ai refait le calcul plusieurs fois et j'abouti toujours à :
    a=1 ; b=-11/3; c=22/9

    😕

    Alors soit c'est toi qui t'es trompé, ou bien c'est moi, donc si c'est le cas peux-tu m'expliquer comment tu as abouti a ton résultat ??

    Merci beaucoup !!!



  • Salut.
    Oui, en effet (lecture trop rapide) : a = 1et b = -11/3.
    Bien vu !


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