"morphisme" non unitaire ?



  • Bonjour à tous.
    Jadis, les anneaux n’étaient pas nécessairement unitaires. Aujourd’hui, la plupart des auteurs le supposent.
    De même, jadis un morphisme d’anneaux ( unitaires ) n’envoyait pas nécessairement l’élément neutre de la multiplication du premier sur le second. Lorsqu’il en était ainsi, on parlait de morphisme unitaire ou encore de morphisme d’anneaux unitaires. Aujourd’hui, la propriété semble sous-entendue lorsque l’on parle de morphisme ( d’anneaux ).
    Simple question de convention dans les définitions, mais cela peut être gênant pour les vieillards, même ceux qui ne sont pas des vieillards maniaques.
    Par prudence je me garderai donc de parler ici de « morphisme ».
    Ce préambule étant achevé, voici le problème que je vous propose :
    Trouver deux anneaux ( unitaires ) A et B, et une application f de A dans B telle que
    ∀x∈ A , ∀y∈A : f(x+y) = f(x) + f(y)
    ∀x∈ A , ∀y∈A : f(x.y) = f(x) . f(y)

    Mais : f(1Af(1_A) ≠ 1B1_B
    1A1_A désigne évidemment l’élément neutre de la multiplication dans A, et 1B1_B l’élément neutre de la multiplication dans B .



  • Aïe, j'ai oublié : f ne doit évidemment pas être l'application nulle ...
    Bon courage.



  • bonsoir, je déterre ce vieu topic pour donner une réponse:
    on prend une application $$
    en munissant z2\mathbb{z}^2 de la somme et du produit termes à termes



  • Bonjour,
    En effet, ça marche puisque Φ(1) = (1;0) alors que l'élément unité de Z² est (1;1).
    Il y a aussi d'autres possibilités avec des anneaux Z/nZ.



  • Bonjour à tous,
    A mon tour je ressort ce vieux sujet.
    J'ai ici une condition suffisante (mais pas nécessaire) pour qu'un morphisme d'anneaux envoie l'unité du premier sur celle du second.

    Morphisme unitaire d'anneaux.


  • Modérateurs

    Bonjour à tous ,

    Peut-être un autre exemple.

    Utiliser pour A et B l'ensemble P(E) des parties de E , E étant un ensemble non vide.

    A=B=P(E)

    (P(E),Δ,∩) est un anneau unitaire , l'élément neutre de l'intersection ∩ est E

    Soit F une partie non vide de E , non égale à E : F ≠ E

    **Soit f l'application de A dans B ( c'est à dire de P(E) dans P(E) ) , qui à tout X de l'ensemble A fait correspondre X ∩ F de l'ensemble B :

    f(X)=X ∩ F**

    Avec la distributivité de ∩ par rapport à Δ , on démontre facilement que :

    ∀X∈A et ∀Y∈A f(XΔY)=f(X)Δf(Y)

    Avec l'associativite de ∩ , on démontre facilement que

    ∀X∈A et ∀Y∈A f(X∩Y)=f(X)∩f(Y)

    Les deux premières conditions sont réalisées

    ( je peux détailler ces démonstrations si quelqu'un le souhaite )

    MAIS :

    f(E)=E∩F=F or F≠E donc f(E)≠E

    La troisième condition est réalisée.



  • Bonjour,
    Ceci est un autre exemple de "morphisme non unitaire".
    Mais as-tu une autre condition suffisante que la mienne (B intègre), voire une CNS, pour que φ(1) = 1 ?


  • Modérateurs

    Non.

    Dans mon exemple , (P(E) , Δ , ∩ ) est non intègre
    ( car xp(e)  , xx=)\forall x \in p(e)\ \ ,\ x \cap \overline{x}=\emptyset )

    Merci Mathtous pour tes questions très interessantes.


 

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