Déterminer les limites et les asymptotes d'une fonction

[amilo]

Je suis coincer avec mon exo de maths un peut d'aide me serais bien utile
Merci d'avance.

Soit f(x) = 2x-3+ (2x ÷ x² - 1 ) définie sur - infinie et -1

1. déterminer les limites de f en - infinie et en 1. En déduire une asymptote

2. Montrer que la droite d'équation y= 2x - 3 est asymptote en - infinie

Voila j'y arrive vraiment pas j'ai tournais le problème dans tous les sens mais je trouve quand même pas

[Iron]

Bonjour,

Ta fonction est bien celle-ci ?

$f(x)=2x-3+\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)$

Citation
définie sur - infinie et
-1

1. déterminer les limites de f en - infinie et en

1. En déduire une asymptote
   C'est -1 ou 1 ?

[amilo]

oui c'est bien celle-ci

définie sur -1

petite erreur de frappe

[Iron]

Citation

1. déterminer les limites de f en - infinie

Au voisinage de l'infini, une fonction rationnelle admet la même limite que le quotient de ses monômes de plus haut degré.

au voisinage de -∞ :

lim f(x) = lim (2x-3) + lim((2x)/(x²-1) = lim (2x-3) + lim(2x/x²) = lim (2x-3) + lim((2/x) = ...
à toi de poursuivre

lim (2x-3) = ?
-∞

lim((2/x) = ?
-∞

[amilo]

Merci !!

[Iron]

en -1 f n'est pas définie (valeur interdite). Il faut calculer la limite de f à gauche de -1 (cad par valeur inférieure)

alors pas à pas :

lim (2x-3) = ?
x<-1
x→-1

lim (2x) = ?
x<-1
x→-1

lim (x²-1) = ? (quelle valeur et quel signe)
x<-1
x→-1

donc :

lim (2x)/(x²-1) = ?
x<-1
x→-1

[Iron]

Complète les ? pas à pas pour bien comprendre.

Je vais devoir quitter, je reprendrai plus tard peut-être si j'en ai la possibilité. Peut-être que quelqu'un d'autre prendra le relais.

[amilo]

je suis dans un pataugeoire

Je comprend pas pourquoi tu met la limite de lim (3x-3)

moi j'aurais mis lim 2x-3
puis 2x
puis x²-1

pour après tous rassemblé

[amilo]

sinon je trouve
lim 2x-3 = -∞
x→-∞

lim 2x = -∞
x→-∞

lim x²-1 = -∞
x→-∞

[Iron]

amilo
Je comprend pas pourquoi tu met la limite de lim (3x-3)

moi j'aurais mis lim 2x-3

Tu as raison, c'est 2x-3, j'ai rectifié

[Iron]

Faisons d'abord la limite en -∞ :
amilo
lim 2x-3 = -∞
x→-∞

lim 2x = -∞
x→-∞
Oui

amilo
lim x²-1 = -∞
x→-∞
Non

lim x²-1 = +∞
x→-∞

La limite de f en '∞ est donc de la forme (-∞ × -∞/+∞)

Or ∞/∞ est une forme indéterminée.

C'est pour cela que je t'ai proposé cela :

au voisinage de -∞ :

lim f(x) = lim (2x-3) + lim((2x)/(x²-1) = lim (2x-3) + lim(2x/x²) = lim (2x-3) + lim((2/x)

lim (2x-3) = -∞
x→-∞

lim((2/x) = quoi ?
x→-∞

donc lim f(x) = lim (2x-3) + lim((2/x) = quoi ?
x→-∞

[Iron]

Par contre, en -1, on ne peut pas utiliser la même méthode.

En effet, la limite d'un quotient de polynômes n'est égale à la limite du quotient des monômes de plus haut degré uniquement en -∞ et +∞

lim f(x) = lim (2x-3) + lim [(2x)/(x²-1)]
x<-1
x→-1

Or :

lim (2x-3) = ?
x<-1
x→-1

lim (2x) = ?
x<-1
x→-1

lim (x²-1) = ? (quelle valeur et
quel signe)
x<-1
x→-1

donc :

lim (2x)/(x²-1) = ?
x<-1
x→-1

et enfin :

lim f(x) = ...
x<-1
x→-1

Je sais que ce n'est pas facile, mais essaie !

[amilo]

oulala j'ai loupée quelque postes. je mangés désolé

Je regarde sa tous de suite si tu est encore la !

(c'est vraie que c'est pas facile )

[amilo]

donc lim f(x) = lim (2x-3) + lim((2/x) = quoi ?
x→-∞

Forme indéterminée ??

[Iron]

au voisinage de -∞ :

lim f(x) = lim (2x-3) + lim((2x)/(x²-1) = lim (2x-3) + lim(2x/x²) = lim (2x-3) + lim((2/x)

avec

lim (2x-3) = -∞
x→-∞

lim((2/x) = 0
x→-∞

donc lim f(x) = lim (2x-3) + lim((2/x) est de la forme -∞ + 0 = -∞
x→-∞

d'accord ?

Passe aux limite en $-1^{-}$

[Iron]

Suis mon post 09.12.2009, 20:13 pour cela

[amilo]

hum en faite je comprend pas ou est passé le -1 dans
lim f(x) = lim (2x-3) + lim((2x)/(x²-1) = lim (2x-3) + lim(2x/x²) = lim (2x-3) + lim((2/x) ceci

[amilo]

si c'est bon j'ai trouvais: les monômes de plus haut degrés

[amilo]

Alors pour -1 sa nous fait donc :
lim (2x-3) = -5
x→-1

lim 2x = -2
x→-1

lim (x²-1) $=0^{+}$
x→-1

donc :

lim (2x) x (1/ x²-1) = -∞
x→-1

lim 2x-3 + (2x) x (1/ x²-1) = -∞
x→-1

[Iron]

amilo
hum en faite je comprend pas ou est passé le -1 dans
lim f(x) = lim (2x-3) + lim((2x)/(x²-1) = lim (2x-3) + lim(2x/x²) = lim (2x-3) + lim((2/x) ceci
...
si c'est bon j'ai trouvais: les monômes de plus haut degrés
Oui, c'est cette méthode, mais n'oublie pas qu'elle n'est valable que
pour les limites en +/-∞

[Iron]

lim (2x-3) = -5
x→-1
x<-1

lim 2x = -2
x→-1
x<-1

lim (x²-1) $=0^{+}$
x→-1
x<-1

donc :

lim (2x) x (1/ x²-1) = -∞
x→-1
x<-1

lim 2x-3 + (2x) x (1/ x²-1) = -∞
x→-1
x<-1

Tout à fait ! Mais n'oublie pas le " x<-1 ", c'est la limite à gauche de -1. (A droite de -1, la limite serait différente dans notre cas.)

En résumé :

f tend vers -∞ quand x tend vers -∞
et
f tend vers -∞ quand x tend vers -1

Est-ce que ces limites ou une de ces limites te renseignent sur une asymptote éventuelle ? Si "oui", laquelle bien sûr ?

[Iron]

Un bonus pour pour la dernière question :

La courbe représentative Cf de f admet une asymptote oblique d’équation y = ax+b en –∞ si et seulement si
[ f(x) – (ax+b) ] tend vers 0 quand x tend vers –∞

Ici, f est donnée sous la forme :

$f(x)=2x-3+\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)$

Et tu as calculé plus haut que :

lim (2x / (x²-1) ) = 0
x –∞

Que peux-tu en déduire ?

Pour la position de Cf par rapport à l’asymptote, pense à étudier le signe de [ f(x) – (ax+b) ].