3. f(x) = g(x) -- identification : fraction rationnelle, décomposition en éléments simples

f(x) = g(x) -- identification : fraction rationnelle, décomposition en éléments simples

  • R

    Voici un Exercice que je n'arrive pas à résoudre, je veux savoir comment faire, je ne comprend pas le cours de ma prof!

    Voici l'exercice:

    Déterminer trois nombres réels a, b et c tels que f = g

    f(x)=(x²+x+1)÷(x²-1) et g(x) = a + (b÷(x-1)) + (c÷(x+1))

    Aidez-moi S'il vous plaît

    Zorro 1 réponse
  • Zorro

    Bonjour

    J'ai fait une fiche sur la méthode d'identification d'une fonction rationnelle

    ici : http://www.math...ours-91.html

    Tu la regardes et tu nous dis ce que tu trouves !

    R 1 réponse
  • R

    Merci j'ai compris la leçon mais je n'arrive pas à résoudre avec mon équation... Tu veux pas le faire avec mon équation s'il te plaît comme exemple, au moins après je fait l'exercice 2 (qui est du même genre)

    R 1 réponse
  • R

    s'il vous plaît un peu d'aide... 😕

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    Salut

    tiens, je vais le faire d'une autre façon, celui-là !

    mettre f(x)=x2+x+1x2−1f(x) = \frac{x^2+x+1}{x^2-1}f(x)=x2−1x2+x+1​ sous la forme a+bx−1+cx+1a + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1}a+x−1b​+x+1c​

    1) déjà x2+x+1x2−1=x2−1x2−1+x+2x2−1=1+x+2x2−1\frac{x^2+x+1}{x^2-1} = \frac{x^2-1}{x^2-1} + \frac{x+2}{x^2-1}= 1 + \frac{x+2}{x^2-1}x2−1x2+x+1​=x2−1x2−1​+x2−1x+2​=1+x2−1x+2​ et donc a = 1\fbox{a = 1}a = 1​.

    2) reste x+2x2−1=bx−1+cx+1\frac{x+2}{x^2-1} = \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1}x2−1x+2​=x−1b​+x+1c​ c'est-à-dire x+2(x−1)(x+1)=bx−1+cx+1\frac{x+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1}(x−1)(x+1)x+2​=x−1b​+x+1c​
    si on multiplie par x−1x-1x−1 et qu'on fait tendre xxx vers +1, alors à gauche x+2(x+1)\frac{x+2}{(x+1)}(x+1)x+2​ tend vers 32\frac3223​ et à droite b+c(x−1)x+1b + \frac{c(x-1)}{x+1}b+x+1c(x−1)​ tend vers bbb donc b= 1,5\fbox{b= 1,5}b= 1,5​

    3) de même en multipliant par x+1x+1x+1 et en faisant tendre xxx vers -1, alors à gauche x+2(x−1)\frac{x+2}{(x-1)}(x−1)x+2​ tend vers −12-\frac12−21​ et à droite b(x+1)x−1+c\frac{b(x+1)}{x-1} + cx−1b(x+1)​+c tend vers ccc donc c= -0,5\fbox{c= -0,5}c= -0,5​

    4) maintenant une vérification s'impose : 1+1,5x−1+−0,5x+11 + \frac{1,5}{x-1} + \frac{-0,5}{x+1}1+x−11,5​+x+1−0,5​ donne-t-elle bien f(x)=x2+x+1x2−1f(x) = \frac{x^2+x+1}{x^2-1}f(x)=x2−1x2+x+1​ en mettant au même dénominateur ?

    La réponse est oui !

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    Bon, bien classiquement en mettant tout au même dénominateur comme dans la fiche de Zorro... ça donne :

    a+bx−1+cx+1=a(x2−1)+b(x+1)+c(x−1)x2−1\small a + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1} = \frac{a(x^2-1) +b(x+1) + c(x-1)}{x^2-1}a+x−1b​+x+1c​=x2−1a(x2−1)+b(x+1)+c(x−1)​ car on a (x−1)(x+1)=x2−1\small (x-1)(x+1) = x^2 - 1(x−1)(x+1)=x2−1

    c'est-à-dire a+bx−1+cx+1=ax2+(b+c)x−a+b−cx2−1a + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1} = \frac{ax^2 + (b+c)x -a + b - c}{x^2-1}a+x−1b​+x+1c​=x2−1ax2+(b+c)x−a+b−c​

    il reste à identifier les coefficients du numérateur avec ceux du numérateur de f(x) initialement donnés ; cela donne a = 1, b+c = 1 et -a + b - c = 1.

    d'où b = 1-c et -1 + 1-c - c = 1 soit c = -0,5. d'où finalement b = 1,5.

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