Exercice sur les fonctions



  • Bonjour,

    J'aurais besoin d'aide pour le dernier exercice de mon DM sur les fonctions s'il vous plait, car je bloque complètement :

    On considère la fonction f définie sur ]3;+∞[ par f(x)= (2x-5)/(x-3)

    a. Montrer qu'il existe deux réels a et b tels que pour tout x différent de 3:
    (2x-5)/(x-3)= a+ b/(x-3)

    b. En déduire comment on peut obtenir la courbe représentative de f à partir de la courbe d'équation y=1/x

    J'ai essayé de développer l'équation de droite, ce qui me donne maintenant

    (2x-5)/(x-3) = (ax-a3+b)/(x-3)

    Après, je bloque vraiment.

    Merci d'avance pour votre aide.



  • salut

    maintenant tu peux comparer (a
    x-a3+b)/(
    x-3) à (2
    x-5)/(
    x-3) et notamment les numérateurs.

    les coefficients devant
    xdoivent être égaux, et les termes constants aussi.



  • Je n'arrive pas à comprendre comment comparé les numérateurs...



  • les deux fractions ont le même dénominateur ; puisqu'elles sont égales, c'est que leurs numérateurs sont égaux. tu peux donc écrire

    a
    x- 3a + b = 2
    x- 5
    que peux-tu en déduire alors ?



  • Je serais tenté de dire ax-a3+b-2x+5=0 à moins qu'on peut tout de suite déduire que a=2 et b=5



  • Bonjour,
    En l'absence de Zauctore, je reprends :
    Les coefficients de x doivent être égaux, donc a =2 est juste.
    Mais les coefficients constants doivent aussi être égaux , donc
    -3a+b = -5
    D'où b.



  • Ah, d'accord, donc
    -3a+b=-5
    -6+b=-5
    b=-5+6
    b=1

    Ensuite pour obtenir la courbe représentative de f à partir de la courbe d'équation y= 1/x est-ce qu'il faut que je transforme le x en x-3 donc obtenir y= x-3/x-3 ?



  • Citation
    est-ce qu'il faut que je transforme le x en x-3 donc obtenir y= x-3/x-3 ?Change plutôt de lettres : pose X = x-3 ( attention aux "grands" X et aux "petits" x ).
    Tu obtiens alors y = 2 + 1/X ( et pas X/X ).
    Reste le "2".
    Il faut donc aussi faire une transformation sur y.



  • Je n'ai pas vraiment compris comment on obtient y = 2+ 1/X. Est-ce le a ajouté à y? Dans ce cas, que fait on du b?

    Et pourquoi a-t-on besoin de transformé le X en x-3? désolé, je me mélange un peu les pinceaux, je narrive plus à suivre.
    Merci pour votre aide



  • Citation
    a. Montrer qu'il existe deux réels a et b tels que pour tout x différent de 3:
    (2x-5)/(x-3)= a+ b/(x-3)J'ai remplacé a et b par les valeurs trouvées : a= 2 et b = 1.
    Puis j'ai remplacé x-3 par X.
    Ce n'est pas X qu'on transforme en x-3 mais x-3 ( initial ) qu'on transforme en X, en posant ( on a toujours le droit ) : X = x-3 ( pour x>3, ce qui donne X > 0).



  • Donc si je met sur ma feuille X=x-3 puis y=2+1/X, est-ce acceptable pour l'instant? Il n'y a pas de phrase à mettre comme explication?

    Donc, ce serait un translation de vecteur -2i?



  • Si : celles que j'ai données :
    J' ai trouvé : y = 2 + 1/(x-3)
    Je pose X = x-3 ( x>3) , j'obtiens donc y = 2 + 1/X

    Ensuite, comme je te l'ai dit, tu dois maintenant faire une transformation sur y :
    Pose Y = ?? afin d'obtenir Y = 1/X



  • Y= y-2



  • Oui, en posant Y = y-2, on obtient Y = 1/X avec ici X>0
    Maintenant on aborde la partie géométrique : comment passer de la représentation de Y = 1/X à celle de f ?



  • Je dirais que pour obtenir y= 2+(1/X) il faut Y= (1/X) +2 donc une translation de vecteur 2j.



  • Oui, mais attention au sens de cette translation.
    Pour éviter les malentendus, appelons (c) la représentation de f , et (C) celle de Y = 1/X
    Ta translation de vecteur 2j fait-elle passer de (c) à (C) ou de (C) à (c) ?



  • A moins que ce résonnement marche aussi : Pour obtenir la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) = 2+ 1/(x-3) à partir de la courbe d'équation y= 1/x, il suffit, tout d'abord de translaté cette courbe de 3 unités vers la droite soit de vecteur 3i ce qui donne y= 1/(x-3) puis de déplacer la courbe obtenu de 2 unité vers le haut soit de vecteur 2j, ce qui donne y= 2+ 1/(x-3)



  • Exact.
    On part donc de (C) ( connue ) pour obtenir (c).



  • Ouf! le DM est enfin fini!!! Merci beaucoup pour toute l'aide que vous m'avez apporté, merci merci merci merci merci !!!!



  • De rien
    A+


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