Résolution d'un problème d'espaces vectoriels

Bonsoir,

Est ce que vous pouvez me donner une piste pour résoudre ce problème svp?

Soit f et g deux éléments de L(E). Montrer que : f o g = g of =>

f(Kerg) ⊂Kerg
f(Img) ⊂ Img

Merci d'avance

Bonjour,
Pour la première inclusion, tu peux commencer ainsi :
Soit y ∈f(Kerg) :
∃x∈Kerg tel que y=f(x)
Donc g(y) = ... continue

merci de votre aide:
g(y)=g(f(Kerg))?

Non : à gauche tu as un élément de E et à droite un sous-ensemble de E.
g(y)=g[f(x)] = (g o f)(x) = ...

d'accord... merci
=(gof)(0)= fog(0)
0∈Kerg
donc l'inclusion est vérifiée?

Non : pourquoi as-tu remplacé x par 0 ?
g(y)=g[f(x)] = (g o f)(x) = (f o g)(x) puisque g o f = f o g
g(y) = f[g(x)] = f(0) car g(x) = 0 puisque x ∈ Kerg
donc g(y) = f(0) = 0 puisque f est linéaire.
g(y) = 0 donc y ∈ Kerg

En résumé : y∈f(Kerg) ⇒ y∈Kerg
Donc f(Kerg) ⊂ Kerg

Essaie de résoudre l'autre inclusion par une méthode analogue.

oki merci , ce n'est pas gagnée pour moi !!j'essaie de le faire avec la deuxième inclusion:
g(y)=g[f(x)] = (g o f)(x) = (f o g)(x) puisque g o f = f o g
g(y) = f[g(x)]
x∈Img

Non. C'est le raisonnement qui compte, pas les calculs.
Et dans ce que tu écris, on ne sait pas ce que désignent les lettres x et y.
Tu veux démontrer une inclusion : pour cela tu prends un élément du premier ensemble, et en utilisant les propriétés données tu t'efforces de démontrer qu'il appartient au second.
Le schéma du raisonnement :
Soit y ∈ f(Img)
donc
....
....
....
donc y ∈ Img

Procède lentement pour bien comprendre.
Soit y ∈ f(Img) : qu'est-ce que cela veut dire ?
Que y est l'image par f de quelque chose
Donc il existe x de ... tel que ...