quotient de l'anneau Z[j] par un idéal

Bonjour,
Trois questions ( liées ) me taraudent depuis quelque temps.
Pourrez-vous m’aider ?
Je commence par fixer le contexte :
Z[j] est l’anneau constitué des éléments de la forme a+bj où a et b sont des entiers relatifs et où j est une racine cubique complexe de 1 : traditionnellement ,
j = (-1+i√3)/2
n est un entier relatif non inversible ( on ne change rien à la généralité du problème si on suppose n > 2).
Soit (n) = n.Z[j] l’idéal engendré par n dans Z[j]
Voici mes questions :

Est-il exact que (n) ∩ Z = n.Z ?
Les éléments de l’anneau quotient Z[j]/(n) sont-ils exactement les éléments de la forme x+yj où x et y sont des éléments de Z/nZ ?
Pour cette dernière question j’ai vraiment un doute : l’écriture Z[j]/nZ a-t-elle un sens et si oui lequel ?
Merci d’avance .

bonsoir,
pour répondre à tes questions, d'abord, quelle est la forme des éléments de (n)?
on a $z∈(n)↔z=n(a+jb)z\in (n) \leftrightarrow z=n(a+jb)$
donc $μ=0↔z∈nzz\in (n)\cap\mathbb{z}\leftrightarrow z=n\lambda+n\mu j \text{ et }z\in\mathbb{z}\leftrightarrow z=n\lambda\text{ et }\mu=0\leftrightarrow z\in n\mathbb{z}$

pour la question 2, tu sais que $z[j]=z[x]/(x2+x+1)\mathbb{z}[j]=\mathbb{z}[x]/(x^2+x+1)$ et tu dis que tu peux faire le passage au quotient dans le sens que tu veux ainsi: $z[j]/(n)=z[x]/(x2+x+1,n)=(z/nz)[x]/(x2+x+1)=(z/nz)[j]\mathbb{z}[j]/(n)=\mathbb{z}[x]/(x^2+x+1,n)=(\mathbb{z}/n\mathbb{z})[x]/(x^2+x+1)=(z/nz)[j]$

pour la question 3, l'ecriture Z[j]/nZ n'a pas de sens (en tout cas pour moi) car écrire A/I (où A est un anneau et I un idéal de A) est un abus d'écriture: on devrait mettre A/R où R est la relation d'équivalence définie par $∀x,y∈a,,xry↔x−y∈i\forall x,y \in a,,xry\leftrightarrow x-y\in i$ (c'est la relation d'équivalence standard que l'on prend pour le quotient d'un anneau par un ideal afin d'obtenir un anneau) mais si tu mets Z[j]/nZ, tu ne peux pas définir cette relation d'équivalence puisque nZ n'est pas un idéal de Z[j]
mais, comme je l'ai mis dans la question 2, tu peux écrire (Z/nZ)[j] puisque là, ça a bien un sens!

Bonjour,
Merci pour tes réponses : elles confortent ce que je pensais.
Mais pourquoi refuses-tu l'écriture A/I ?
C'est pourtant bien ce que tu écris : Z[X]/(X²+X+1) par exemple, où (X²+X+1) est l'idéal engendré par X²+X+1.
En tout cas merci et bonne journée.

bonjour,

je ne refuse pas l'écriture A/I, je dis juste que la définition c'est A/R ou R est une relation d'équivalence définie sur A

c'est un abus d'ecriture mais c'est pas grave on en fait plein comme dire que Z est inclu dans Q au lieu de dire que Z s'injecte dans Q personne n'y fait attention et c'est normal parceque ça simplifie les choses de les faire

je dis aussi qu'il faut que I soit un idéal de A pour avoir une structure d'anneau sur le quotient sinon tu as autre chose (un peu comme quand tu quotiente un groupe par un sous groupe non distingué) donc finalement a bien y réfléchir, Z[i]/nZ a peut être bien un sens mais a priori ce n'est pas un anneau on pourrait peut-être voir ça comme l'ensemble des a+jb où a est dans Z/nZ et b dans Z...

bonne journée

Citation
je dis aussi qu'il faut que I soit un idéal de A pour avoir une structure d'anneau sur le quotient sinon tu as autre chose (un peu comme quand tu quotiente un groupe par un sous groupe non distingué)Tout à fait d'accord. Mais si on quotiente un groupe par un sous-groupe non distingué, on obtient des classes à droite et des classes à gauche ?
Mis à part le fait que ce sont des classes d'équivalence, ont-elles une structure particulière ?
A ce propos, peux-tu jeter un coup d'oeil sur ce lien :

Congruences

bonsoir,
je sais pas du tout si on a une structure particulière ... ici, si tu oublies la multiplication de Z[j], tu as un Z module et $nzn\mathbb{z}$ est un sous-Z-module de Z[j] et le quotient est aussi un Z-module.

Mais après, si tu gardes la multiplication sur Z[j], $nzn\mathbb{z}$ n'est pas une sous algèbre de Z[j] et je sais pas trop ce qui se passe

En bref, ni anneau ( si la structure initiale est celle d'un anneau ) , ni groupe ( si la structure initiale est un groupe ).
Merci beaucoup.
Bonne journée.