Résoudre un système de deux équations avec 2 paramètres

Bonjour

Pouvez vous regardez svp
Il faut que je résolve et discute, suivant les valeurs des paramètres réels m et p, le système suivant dans R2

9(m-1)x - (m+2)y = p

(4m +8)x - (m-1)y = m+p

Je pense que je dois d'abord étudier le cas où m=1
y=-p/3
x=(m+p)/12
Merci d'avance

C'est encore moi.
Tu n'aurais pas plutôt des exercices un peu moins " calculatoires " ?
Enfin.
Avant toute chose : deux questions :

As-tu vu la méthode de Cramer ( avec les déterminants ) pour résoudre les systèmes ?
Etudier d'abord le cas m = 1 : peut-être, on va voir, mais pourquoi pas aussi le cas m = -2 ?

si si mais je dois tous les faire !
non je n'ai pas vu la méthode de Cramer si ce n'est pas très compliqué à expliquer je veux bien que vous me l'expliquez svp .
m=1 ou m =-2j'aurais fait les 2!

Bonjour à vous deux . . . insertion furtive, juste pour mettre le lien vers la fiche de Zauctore concernant la méthode de Cramer.

http://www.mathforu.com/cours-96.html

bonne continuation

Désolé, mon message s'est envolé !
Je recommence.
m=1 et m=-2 sont des
cas particuliers: ils rentrent dans le cas général, il est donc inutile de les traiter à part.
Par contre m = 7 et m = -1/5 sont des
cas d'exception: ils doivent impérativement être traités à part.

La méthode de Cramer dans le cas des systèmes de plus de 2 équations à plus de 2 inconnues doit être en dehors de ton programme.
Mais pour les systèmes de 2 équations à 2 inconnues, tu l'as peut-être vu en seconde.

Supposons qu'on veuille résoudre ce système :
ax + by = u
cx + dy = v

Pour calculer x on va se débarrasser de y : facile : comme pour le pivot :
dL1 - bL2 donne (ad - bc)x + 0y = ud - bv
Donc,
à condition que ad - bc ne soit pas nul, on obtient
x= (ud - vb)/(ad - bc)

De même, aL2 – cL1 donne : 0x + (ad – bc)y = av – uc et donc , toujours
si ad – bc est non nul:
y = (av – uc)/(ad – bc).

Ce sont les formules de Cramer.
Il est commode de noter ad – bc sous la forme
| a b |
| c d |
( les barres verticales sont jointives : on appelle cela un déterminant ).
Il suffit de retenir la façon de le calculer : on soustrait les produits en croix ( dans le bon ordre ).
Ce nombre ad – bc est le déterminant du système : s’il est non nul le système admet une solution unique donnée par les formules vues plus haut.
Remarques que le numérateur de x , ud – vb est aussi un déterminant :
| u b |
| v d |
Il a suffit de remplacer la première colonne ( constituée de a et c ) par celle des valeurs situées à droite des égalités.
Même chose pour le numérateur de y : av – uc =
| a u |
| c v |
Cette fois c’est la deuxième colonne qui a été remplacée.

d'accord j'ai compris merci^^
je trouve donc
|p m+2 |
|m+p m-1 |

et |9(m-1) p|
|(4m+8) m+p|

c'est la solution?? mais je n'ai par contre pas compris m=7 et m=-1/5 étaient des cas particuliers

Attention : pour le premier, celui qui fournira x, il faut tenir compte des signes des coefficients.
Mais il manque le déterminant principal : celui du système :
| 9(m-1) -(m+2) |
| 4m+8 - (m-1) |
Commence par calculer ce déterminant , on verra les autres après.

donc

|p m-2 |
|m+p m+1 |
comme ceci?
ce qui donne x=p(m+1)-(m+p)(m-2)
non?

Pas du tout.
Le numérateur de x est :
| p -(m+2) |
| m+p -(m-1) |
Ce qui donne non pas x mais seulement le numérateur de x :
-p(m-1) - [-(m+p)(m+2)]
Pour avoir le dénominateur, tu dois calculer :
| 9(m-1) -(m+2) |
| 4m+8 -(m-1) |
Désolé, les espaces ne sont pas respectés.
C'est ce dernier déterminant qu'il faut calculer en premier car, devant figurer au dénominateur, il ne doit pas être nul.

Désolé mais je dois me déconnecter.
Si ce n'est pas urgent on pourra continuer demain.
Sinon, je pense qu'Iron et Lind sont connectés. Tu peux être tranquille : ce sont des " épées ", et il va certainement en venir d'autres.

J'avais une chance sur 2 de me tromper !! en tout cas merci de votre patience
je trouve pour x=( m²+2m+p)/(13m²+4m-25)

Je ne trouve pas cela : peux-tu détailler les calculs ?
Commence par le déterminant du système :
| 9(m-1) -(m+2) |
| 4m+8 -(m-1) |
= -9(m-1)² - [- (4m+8)(m+2)]

d'accord^^

-9m²+18m-9+4m²+8m+8m+16
=-5m²+34m+7
Ceci est ce mieux?

Bonjour,
Oui : je crois que c'est bien le déterminant du système.
Tu peux maintenant calculer celui qui donne le numérateur de x , et celui qui donne le numérateur de y.

comme numérateur de x et de y je trouve 3p+m²+2m
pour le dénominateur de y je trouve |9(m-1) p|
|(4m+8) m+p|
ce qui donne : 9m²+9mp-9m-9p -4mp-8p= 9m²+5mp-9m-17p

C'est ce que je trouve aussi.
Maintenant commence la discussion : Pour pouvoir appliquer les formules de Cramer, le dénominateur ( le déterminant du système ) ne doit pas être nul.
Tu dois donc commencer par chercher les valeurs qui annuleraient ce dénominateur.

je comprends mieux maintenant le m=7 et -1/5
mais on doit tatonner à la calculatrice pour trouver les valeurs???

Tu ne sais pas résoudre une équation du second degré ?
-5m² + 34m + 7 = 0
Tu calcules Δ = 34² - 4*(-5)*7 = 1296 = 36²
etc ...

ah mais c'est ce que j'avais fait mais j'avais obtenu un truc impossible...
...ah oui ça marche^^ merci bien

Ensuite, la discussion fait intervenir trois cas dont certains se subdivisent :

si m≠7 et m≠-1/5 alors le système admet une solution
uniquedonnée par les formules de Cramer
Si m = 7 : tu regardes, ça va dépendre de p : ou bien il y aura une infinité de solutions, ou bien il n'y en aura aucune.
Même chose si m = -1/5

autrement dit je remplace dans l'équation de départ m par7 et m par -1/5?

Pas en même temps.
D'abord, tu remplaces m par 7.

oui oui ^^

Je vais bientôt me déconnecter, et je ne serai pas là cet après-midi.
Essaie de ne pas trop traîner.
Mais il y aura bien du monde cet après-midi pour t'aider.

pour m= 7 je trouve deux valeurs différentes pour y

ok je fais encore des maths cet après m'
merci bien!!

Ecris les équations obtenues pour m = 7.
Il ne peut pas y avoir deux valeurs différentes pour y : ou bien il n'y en a pas, ou bien il y en a une infinité.

ok
54x-9y=p
36x-6y=7+p

x=p/54+y/6

je remplace dans l'autre équation, ce qui donne :
36(p/54+y/6)-6y=7+p
2/3p=7+p
1/3p=-7
p=-21

Tu remarques que les membres de gauche sont proportionnels.
Si les membres de droite sont dans la même proportion, il y aura une infinité de solutions : en fait les deux équations seront équivalentes.
Dans le cas contraire, les deux équations seront contradictoires, et il n'y aura aucune solution.
Ca dépend de p.
Pense à l'aspect géométrique : droites confondues ou droites parallèles.
Je te montre :
54x - 9y = p ⇔ 9(6x-y) = p
36x-6y=7+p ⇔ 6(6x-y) = 7+p

On cherche donc pour quelle (s ) valeur de p on a p/9 = (7+p)/6
Continue

oulààà j'étais partie vraiment au bout du monde..;
je trouve p=-21

Ah! tu as posté pendant que j'écrivais.
Mais tu as la bonne valeur : p = -21
Donc, si p = -21 , les deux équations sont équivalentes : elles n'en forment qu'une : en simplifiant : 6x - y = -7/3 ( c'est l'équation d'une droite ).
Il y a donc une infinité de solutions ( x ; 6x + 7/3 ).
Mais si p ≠ -21, il n'y a aucune solution ( si tu écris les équations : ce sont celles de deux droites parallèles ).

Ensuite le cas m = -1/5 se traite de la même façon.
L'exercice est fastidieux mais facile.

j'essaie avec m=-1/5
ce qui donne :
(-54/5)x+(9/5)y=p ⇔(9/5)(-6x+y)=p
(36/5)x +(6/5)y=(-1/5)+p ⇔ (9/5)(4x+y)=(-1/5)+p
ils ne sont pas proportionnels sauf si erreurs de calcul

Il y a erreurs de calcul.
La seule égalité qui me parait juste est :
(36/5)x +(6/5)y=(-1/5)+p
Dans la première, il y a un signe qui ne va pas.
Dans la dernière, c'est la factorisation.

(-54/5)x+(9/5)y=p⇔(-9/5)(6x+y)=p

(36/5)x +(6/5)y=(-1/5)+p⇔ (6/5)(6x+y)=(-1/5)+p
-5p/9=-1/6+5p/6
je trouve p=3/5

Il y a donc une infinité de solutions (x; -6x+ 1/3)

Non : cette ligne :
(-54/5)x+(9/5)y=p est fausse.
Et tu as triché dans la factorisation.
Reprends tes calculs : je t'avais signalé une faute de signe dans (-54/5)x+(9/5)y=p

Bonjour,
(-54/5)x-(9/5)y=p
(-9/5)(6x+y)=p

(36/5)x +(6/5)y=(-1/5)+p⇔ (6/5)(6x+y)=(-1/5)+p

-5p/9=-1/6+5p/6
-10p/18-15p/18=-1/6
-25p/18=-1/6
p=3/25
Ceci est ce mieux?

En tout cas, c'est ce que je trouve aussi.
Comme je te l'ai dit, l'exercice est très facile mais fastidieux à cause des calculs où on risque constamment de se tromper.