matrices diagonales
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Bbully5 dernière édition par
Bonjour ,
Est ce que vous pouvez m'expliquer svp comment on peut déterminer toutes les matrices diagonales X d'ordre 3 vérifiant X²-X-2I=0
Est ce que cette équation peut s'écrire comme une matrice?
merci d'avance
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Mmathtous dernière édition par
Bonjour,
Si X est diagonale, elle permute avec toute matrice pour la multiplication.
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Bbully5 dernière édition par
On vient de commencer les matrices
je veux bien permuter avec toute matrice pour la multiplication mais je ne comprends pas ce que ça veut dire :frowning2:
est ce que ça veut dire
1 0 0
0 1 0
0 0 1
?
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Mmathtous dernière édition par
En général, si tu as deux matrices carrées M et N, le produit MN n'est pas égal au produit NM.
Mais si l'une des matrices est diagonale, alors oui.
Attention : une matrice diagonale n'est pas forcément la matrice unité. Ce peut être, par exemple :
5 0 0
0 4 0
0 0 7
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Bbully5 dernière édition par
d'accord
mais je permute l'équation avec quoi??
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Mmathtous dernière édition par
Non : ce sont les matrices qui permutent.
Ca te permet de raisonner comme tu le fais habituellement pour résoudre une équation du second degré dans R.
Tu as le droit car l'ensemble des matrices diagonales 3x3 est un anneau
commutatif( et unitaire ).
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Bbully5 dernière édition par
j'ai peut être trouvé quelque chose :
X²=|4 0 0|
|0 4 0|
|0 0 4|X= |2 0 0|
|0 2 0|
|0 0 2|-X= |-2 0 0|
|0 -2 0|
|0 0 -2|-2I=|-2 0 0|
|0 -2 0|
|0 0 -2|qu'est ce que vous en pensez?
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Mmathtous dernière édition par
En clair, tu as trouvé que si X est la matrice
2 0 0
0 2 0
0 0 2
alors X² - X - 2I = 0
Ce qui est juste : tu as trouvé une solution .
Mais il y en a une autre.
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Bbully5 dernière édition par
Bonjour,
Je ne vois vraiment pas
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Mmathtous dernière édition par
Bonjour,
L'équation donnée étant du second degré, tu dois t'attendre à ce qu'il y ait au moins une autre solution.
Hélas, l'anneau des matrices diagonales 3x3 n'est pas intègre.
Il y a donc en réalité plusieurs autres solutions.
Par exemple , essaie cette matrice :
2 0 0
0 -1 0
0 0 -1
Puis tente de voir comment je l'ai trouvée.
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Bbully5 dernière édition par
Il y a alors aussi:
1 0 0
0 -1 0
0 0 1
je pense que le 1 correspond au X², le -1 au X et le 1 à l'identité?
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Mmathtous dernière édition par
Non : vérifie : ta matrice n'est pas solution de X² - X - 2I = 0
Et à quoi correspondrait le 2 de l'exemple que je t'ai donné ?
Je vais t'aider : la matrice diagonale cherchée est de la forme :
u 0 0
0 v 0
0 0 w
u,v,w sont des réels mais pas forcément égaux.
Ecris les équations que doivent vérifier ces 3 nombres.