Sous espaces propres-matrices symétriques, annales EM Lyon 2009

[Nouchka]

Bonjour!
J'aurais une question à propos d'un exercices que j'ai eu en devoir (2ème année prépa HEC) et n'arrive pas à refaire, malgré deux corrections différentes.
On dispose de deux matrices symétriques positives telles que R²=S.
On a montré que si a était valeur propre de R alors a² était valeur propre de S, et que les sous-espaces propres vérifient SEP(R,a)⊂SEP(S,a²).
On note $a_1$,...,$a_p$ les valeurs propres deux a deux distinctes de R.
La question sur laquelle je bloque est: montrer que [désolée je manque de symboles sur l'ordinateur]
la somme directe de SEP(R,$a_i$), i allant de 1 jusqu'à p est incluse(⊂) dans la somme directe des SEP (S,a²${}_i$), i variant de 1 à p.
J'espère que c'est clair et que vous pourrez m'aider. En vous remerciant d'avance.
Cordialement