3. Dresser le tableau de variation d'une fonction

Dresser le tableau de variation d'une fonction

  • J

    Si quelqu'un pourrait m'aider pour cet exo...

    Soit f la fonction définie sur [0;50] par :
    f(x) = x²+(50x/x+1)-50ln(x+1)-50

    La dérivée f'(x)=[2x(x-4)(x+6)]/[(x+1)²]

    Partie A

    1. Etudier le signe de f' sur [0;50]
    2. Dresser le tableau de variation de f sur [0;50]. On admet que f(x) s'annule pr une seule valer alpha de l'intervalle ]0;50[ ; déduiser le signe de f(x) sur [0;50]
    3. Donner un encadrement d'alpha par 2entiers consécutifs. Pr la suite du problème, on prendra pour alpha la plus petite de ces deux valeurs

    Partie B
    Une entreprise fabrique une quantité x, exprimée en kg, d'un certain produit. Le coût marginal C, en €, est défini sur [0;50] par C(x)=2x+(50/x+1)

    1. La fonction coût total, notée Ct est la primitive de la fonction C sur [0;50] qui prend la valeur 50 pr x=0. Vérifier que Ct(x)=x²+50ln(x+1)+50
    2. Le cout moyen est la fonction Cm définie par : Cm(x)=Ct(x)/x sur ]0;50]
      a) Donner une expression de Cm(x) en fonction de x
      b) Vérifier que la dérivée de Cm peut se mettre sour la forme : C'm(x)=f(x)/x²

    Partie C

    1. Déduiser avec les résultats précédents le tableau de variation de la fonction Cm sur ]0;50]
    2. Tracer dans une repère orthonormal la courbe représentatiive de Cm sur [1;50]

    Merci de votre aide

    J 1 réponse
  • J

    Pour la partie A, j'ai commencé :

    1. Comme x appartient à l'intervalle [0;50], donc f'(x) est du signede 2x(x-4)(x+6)

    f'(x)=0
    2x(x-4)(x+6)=0
    2x(x²+2x-24)=0
    2x^3+4x²-48x=0

    a= 2; b=4; c=-48

    Delta = b²-4ac = 4²-42(-48) = 400

    x1 = (-b+Racine de Delta) / 2a = 4
    x2 = (-b-Racine de Delta) / 2a = -6 n'appartient pas à [0;50]

    S = {4}

    1. f(0) = -50
      f(4) = 6-50ln(5)
      f(50)=(122450/51)-50ln50

    donc pr le tableau de variation c'est négatif entre 0 et 4 donc f est décroissant tandis qu'entre 4 et 50 c'est positif donc f est croissant.

    Etant donné que je n'arrive pas la 3e question de la partie A, j'ai commencé la partie B.

    Partie B

    1. 2x --> x²
      50/(x+1) --> 50ln(x+1) car 1/x=ln(x)

    donc : Ct(x) = x²+50ln(x+1) or, dans l'énoncé, ils mettent '+50' à la fin, je ne sais pas d'où cela peut provenir...

    1. a) ?
      b) Cm(x) = [x²+50ln(x+1)+50]/x²

    50ln(x+1) = 50 1/x+1
    (ln u)' = u' / x avec u=x+1 et u'=1 donc 50/x+1

    Donc Cm'(x) = 2x+(50x+1)/x², or ils disent que c'est censé être f(x)/x²...

    L 1 réponse
  • L

    Salut !

    Partie A

    L'étude est bonne mais trop emphatique.
    Tu auras vite remarqué que seul le signe de (x-4) importe au signe de f', la seule étude de cette expression aurait suffit.

    Utilise simplement le tableau des valeurs des y en fonction de x donné par ta calculatrice.
    n < α < n+1

    Partie B

    Le '+50' est la constante k de la primitive.

    1. a.
      Remplace simplement Ct(x) par x2x^2x2 + 50 ln (x+1) + 50
      comme tu l'as justement fait pour la question b).

    b.
    Utilise la formule (u/v)' = u'v-uv'/v²

    J 1 réponse
  • J

    Merci beaucoup 🙂 !!

    Pourriez vous m'aider pour pour la question 1 de la partie C ?

    L 1 réponse
  • L

    Re-bonsoir,

    Pour étudier le sens de variation d'une fonction, il faut prendre l'habitude de vérifier le signe de sa dérivée.

    Tu sais que C'm(x)=f(x)/x²

    x² étant toujours positif, le signe de C'm(x) dépend du signe de f(x).
    Tu connais le signe de f(x) et rappel-toi que l'on a défini plus ou moins arbitrairement que f(11) annulait la fonction.

    « Un problème créé ne peut être résolu en réfléchissant de la même manière qu’il a été créé. »

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    **-  A. Einstein         

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