Polynômes orthogonaux : définitions, propriétés et interprétations

[aze321]

J'étudie actuellement les polynômes orthogonaux et je me pose beaucoup de question pouvez-vous m'apporter vos réponses et me dire si ce que je pense est correcte :

Deux polynômes, p et q d'une suite sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul
=0 (le produit scalaire=forme bilinéaire symétrique positive définie).

Le produit scalaire de fonctions peut donc être l'intégrale du produit de ces fonctions $⟨p,q⟩={\int }_{x_1}^{x_2}p(x)q(x),dx$ car
-c'est le plus simple à calculer,
-on peut définir un intervalle d'orthogonalité correspondant aux bornes de l'intégrale.

1. Existe-t-il une autre forme que "l'intégrale du produit de des fonctions des polynômes" qui permet de calculer le produit scalaire de deux polynômes?

2. Peut-on donner une interprétation graphique deux polygones orthogonaux ou encore à une base vectorielle construite à partir de polynôme orthogonaux ?
   2.1) Par exemple, chaque axe représenterait un polynôme de la base et les valeurs sur chaque axe correspondraient aux valeurs des coefficients de ces polynômes. Le problème de cette interprétation, c'est qu'il serait impossible d'avoir des coefficients incluant l'indéterminé (par exemple dans la relation de récurrence $p_{n+1}=(a_{n}x+b_n)p_n-c_n{p}_{n-1}$ il serait impossible de positionner le coefficient $(a_{n}x+b_n)$ sur l'axe symbolisant le polynôme $p_n$).
   2.2) Ou encore, chaque polynôme serait représenté par un vecteur dont l'origine serait "l'origine du repère" et le point d'arrivé "les coordonnées des polynômes" (ex: $p_2(x)=3x^2+1$ -> (3,0,1)). Le problème de cette interprétation, c'est que les vecteurs construits ainsi ne sont pas orthogonaux deux à deux (dans le cas des polynômes de Legendre, par exemple).

3. Tous polynômes $p_{n+1}$ d'une suite orthogonale peuvent s'obtenir par récurrence avec les deux polynômes de degrés inférieurs dans la suite, $p_n$ et $p_{n-1}$ par la relation suivante $p_{n+1}=(a_{n}x+b_n)p_n-c_n{p}_{n-1}$.
   Comment fait-on pour trouver les valeurs des coefficients $a_n$, $b_n$ et $c_n$?

4. La propriété de récurrence des polynômes orthogonaux fait intervenir un facteur $x$ dans le coefficient $(a_{n}x+b_n)$, à partir de là, il me semble de manière intuitive qu'un polynôme pourrait s'exprimer dans une base vectoriel formée à partir de polynôme non orthogonaux.
   Si c'est possible alors qu'elle est utilité que les polynômes, qui forment une base, soient orthogonaux?

5. Les zéros des polynômes orthogonaux sont distincts.
   Pouvez-vous me donner un exemple de polynôme non orthogonal ayant des zéros non distincts?

6. Dans l'intervalle dans lequel les polynômes sont orthogonaux, l'ensemble des zéros des polynômes est dense.
   Dans le cadre des polynômes orthogonaux, quel critère permet de dire que l'ensemble des zéros est dense?