Processus de Galton-Watson - Martingales.
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Xxav57condo dernière édition par
Bonjour à tous, je suis nouveau sur ce site et j'espere vraiment y trouver de l'aide ^^
Je suis actuellement en master et je fais un petit travail personne de recherche sur les processus de Galton Watson. Cependant dans un ouvrage je suis tombé sur une justification que je ne comprends pas...
Pour tout bien situer je vais détailler les notations :
Le processus de Galton-Watson que j'étudie est défini par : z0=1z_{0}=1z0=1 et zn+1=∑j=1znljnz_{n+1}= \sum\limits_{j=1}^{z_{n}}{l_{j}^{n}}zn+1=j=1∑znljn ou les ljnl_{j}^{n}ljn sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.
On pose également wn=znmnw_{n}=\frac{z^{n}}{m^{n}}wn=mnzn où m=e(z1)m=e(z_{1})m=e(z1).
On montre que la martingale (wn)n(w_{n})_{n}(wn)n converge presque surement et dans L² vers une variable aléatoire W d'éspérance 1.
L'intéret est de montrer que P(W=0) est racine d'une équation et pour cela on utilise le fait que
$p(w=0 / z_{1}=k) = p(\limit{n \rightarrow +\infty}{w_{n}}/ z_{1}=k) = p( \displaystyle {\lim_{n \rightarrow+\infty}}w_{n})^{k} = p(w=0)^{k}$
Alors mon problème est le passage à la puissance k....
Dans le livre il est écrit :
"Sachant (z1=k)(z_{1}=k)(z1=k) le vecteur (z2,...,zn)(z_{2},...,z_{n})(z2,...,zn) se comporte comme une somme de k vecteurs indépendants de meme loi que (z1,...,zn−1)(z_{1},...,z_{n-1})(z1,...,zn−1)...
Voila si quelqu'un pouvait m'expliquer ceci ou me donner une autre démonstration du passage à la puissance k ca serai vraiment gentil..
Merci d'avance.
Xavier