Calcul de la dérivée et tableau de variation



  • Bonjour, voici l'énoncé :

    On admet que la fonction C est définie par C(x)=x²+6x+40
    a) On pose Cm(x) pour 1≤x≤38, que représente le nombre cm(x) ?
    b) Exprimer Cm(x) en fonction de x.
    d) Calculez la dérivée de C'm de Cm, réduire l'expression trouvée au ^même dénominateur et étudier son signe
    e) Dresser un tableau de variation de Cm sur l'intervalle [1;38].
    f) Pour qulle valeur de x le côût moyen est-il minimal?

    Voilà je suis bloquée à la question b je ne suis pas sur de ce qu j'ai fais :
    Cm(x)= (x²+6x+40)/x
    Cm'(x)=(2x+6)/x²
    Cm'(x)= -(2x+6)/x²

    Et après je suis bloquée merci de votre d'avance.



  • Bonjour Ophélie,

    Citation
    Cm'(x)=(2x+6)/x²
    Cm'(x)= -(2x+6)/x²
    Pourquoi deux expressions différentes pour Cm' ?

    Pour la dérivée, je n'obtiens pas le même résultat que toi, tu peux vérifier ?



  • Partie ...

    a) CMC_M(x) = C(x)/x représente le coût moyen
    ...(il manque un adjectif)

    b)
    Citation
    Voilà je suis bloquée à la question b je ne suis pas sur de ce qu j'ai fais :
    Cm(x)= (x²+6x+40)/x
    Ca me paraît correct (si ce n'est qu'il me semble qu'on le note habituellement avec un M majuscule CMC_M, CmC_m étant la notation habituelle du coût marginal, mais peu importe, il n'y a peut-être pas de règles strictes, je connais mal le prog ES)

    Pour le calcul de sa dérivée, utilise :

    (u/v)' = (u'v-uv')/v²



  • CM(x)=(x²+6x+40)/x

    u/v=u'v-uv-/v²

    u(x)=x²+6x+40 u'(x)=2x+6
    v(x)=x v'(x)=1

    CM'(x)=(2x+6)*x-(x²+6x+40)*1/x²
    CM'(x)= 2x²+6x-x²-6x-40/x²

    Et si je continue en simplifiant cela donne ca :

    CM'(x)=-40
    ?

    Merci



  • Salut,

    2x² +6x- x² - 6x - 40 / x² = x²-40/x² = -40/x²


    « Un problème créé ne peut être résolu en réfléchissant de la même manière qu’il a été créé. »

    « Rien n'est plus proche du vrai que le faux. »

    **-  A. Einstein         
    
    * * ***


  • Ok, merci mais après je dois étudier son signe donc je dois faire un tableau de signe en calculant -40/x²=0



  • ... juste pour vous signaler une erreur sur la dérivée

    Citation
    M'(x)=
    (2x²+6x-x²-6x-40
    )/x²

    avec les parenthèses, ça change le numérateur ...

    je vous laisse poursuivre.



  • ok, donc x²-40-x² et j'utilise la formule suivante pour mon tableau de signe Δ=b²-4ac ??



  • Pour le calcul de la dérivée, il faut utiliser :

    (uv)=uvuvv2(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

    Tu dois aboutir à : Cm=x240x2C_{m}'=\frac{x^2-40}{x^2}

    ... mais je suppose que c'est ce que tu as voulu écrire. (erreur de frappe)

    Pour étudier son signe, le dénominateur est un carré, il est donc tjrs ...

    Le signe de C'm va dépendre du signe signe du ...

    Pour le numérateur, tu peux passer par la méthode du discriminant effectivement. Il y a plus simple en utilisant l'identité remarquable a²-b² = ...



  • J'ai trouvé deux valeurs -√160/2 et √160/2 est ce possible pour faire le tableau ensuite ?



  • Oui et non, √160/2 peut se simplifier et une seule de ces deux racines est à retenir à cause du domaine de définition. Je vais devoir quitter, alors un coup de pouce. Je reprends :

    Cm=x240x2C_{m}'=\frac{x^2-40}{x^2}

    x ∈ [1;38]

    Le dénominateur de Cm' est un carré, il est donc tjrs positif
    Le signe de C'm va dépendre du signe signe du numérateur cad de x²-40

    En utilisant l'identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b)

    on résout : x²-40 = 0
    (x+√40)(x-√40) = 0

    avec √40 = 2√10

    soit x = -2√10 solution rejetée car x≥1 ou x = 2√10 solution retenue

    Tu dresses le tableau de variation de Cm à partir du tableau de signe de C'm.

    Il faut déduire le signe de x²-40 sur l'intervalle [1;2√10[ et sur [2√10;38]

    x | 1 ... 2√10 ... 38

    (x+√40)
    (x-√40)

    C'm(x)

    Cm(x)


 

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