Développement limité, dérivée seconde

Bonjour à tous

Je viens a peine de commencer les développements limités, et grâce à ma chance (ou pas), j'ai eu un exercice tout de suite en colle.

Mais je sèche déjà un peu.

Soit f définie par :

(sinx) / x si x>0

(sh-x) / -x si x<0

1 si x=0

Montrer que f est de classe C1. Est elle de classe C2 ?

J'ai réussi a montrer qu'elle etait de classe C1:

J'ai prouvé la dérivabilité en 0 avec la limite du taux de variation. Je trouve que sa dérivée en 0 est -1/6.
J'ai prouvé que la dérivée etait continue grace a un développement limité de l'expression de la dérivée.

Pour x>0 j'ai : f'(x) = -1/6 + x/60 + o(x)

Pour x<0 j'ai : f'(x) = -1/6 + x/60 + o(x)

Maintenant avec l'expression de la dérivée, je sais que f' est dérivable sur R* je dois donc encore etudier le cas en 0.

Je voulais recommencer comme j'ai fait pour f, c'est a dire, faire le taux de variation de la dérivée, et trouver sa limite, mais je ne parviens pas à conclure.

N'y a t'il pas de moyen plus rapide ? Car si j'ai bien compris les développements limités, le deuxieme terme (1/6) correspond à f'(0), j'aurais donc pour x<0 et x>0 la même dérivée seconde ?

Merci à tous