Brevet Métropole 29 juin 2010 - activités géométriques.

[Zauctore]

Sans difficulté, le premier exercice est du niveau 4e pour la deuxième question et 5e pour le reste.

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2) a) On se place dans le triangle BJK qui est rectangle en B. Le théorème de Pythagore permet d'écrire

$j{b}^2+b{k}^2=j{k}^2$
soit

$3^2+3^2=j{k}^2$
les codages montrant que BJ = BK = 9:3 = 3. D'où

$jk=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4,2\text{ cm}.$

2) b) Les côtés de l'octogone (c'est cette figure à 8 côtés obtenue en reliant IJKLMNOP, genre panneau de stop) ne sont pas tous égaux : certains mesurent 3 cm d'autres 4,2 cm. L'octogone n'est donc pas régulier.

2) c) L'octogone est obtenu en enlevant au carré les quatre petits triangles rectangles (identiques) des "coins". D'où l'aire de l'octogone :

$9^2-4\times \frac{3\times 3}{2}=81-18=63{\text{ cm}}^2.$

3) a)

**3) b)**C'est vrai qu'on pourrait se laisser aller à imaginer que les portions de l'octogone situées en dehors du disque équivalent à celles du disque situées hors de l'octogone... c'est-à-dire imaginer que le disque et l'octogone ont sensiblement même aire... Mais le calcul montre que l'aire du disque est

$\pi \times r^2=\pi \times 4,5^2\approx 63,6{\text{ cm}}^2$
L'aire du disque est donc légèrement supérieure à celle de l'octogone (il y a moins d'1% d'écart).

Remarque : c'est une méthode égyptienne très ancienne pour approcher l'aire du disque.

[Zauctore]

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