Résolution d'équation avec les exposants

Bonjour à tous,

J'aurais besoin de quelques pistes pour m'aider à résoudre dans R l'équation :

$x^{(x^x)} = (x^x)^x$ .
Si je pars du membre de gauche, je retrouve le membre de droite, ce qui rend la résolution de l'équation impossible, je dois donc me planter quelque part dans mes calculs.

Des indications pour bien commencer ?

Merci d'avance,
Emtec.

Bonsoir,

Pour x≠0,
$x(xx)=xx2→x(xx)xx2=1x^{(x^x)}=x^{x^2} \rightarrow \frac{x^{(x^x)}}{x^{x^2}}=1$
Ensuite tu peux simplifier...

c'est à dire x^( ( (x)^x) - x^2 ) = 1 ?
Je ne vois pas comment simplifier en fait ...

oui c'est ça, après tu peux factoriser par x^2 ta puissance, et tu sais que la seul façon de faire 1 c'est que x soit égal à 1, ou que la puissance soit égale à 0...

La question est un peu idiote mais comment factoriser ma puissance par x^2 ? En faisant x ^( x²( 1^(x/2) - 1 ) = 1 ?

Bonjour,
Pour commencer , c'est dans R ? alors l'exponentiation n'est définie que pour x > 0 ( et pas seulement ≠ 0).
Ensuite, il est aisé de voir que les résultats sont en général différents : par ex :
(2^2)^3 = 4^3 = 64
alors que 2^(2^3) = 2^8 = 256.
Ne pas oublier que u^v = exp (v.ln u ) ( pour u > 0 )
Et que (a^b)^c = a^(b.c)
A partir de là il est aisé de trouver les solutions.

Oui c'est bien dans R, donc de cela j'en déduis que x>0.
Je sais que ( x^x )^x = x^(x²).
Pour l'autre, on a en utilisant l'exponentielle : (x)^(x^x) = exp ( x^x ln x) mais ensuite que faire, recommencer pour le x^x en utilisant l'exponentielle ?

x^(x^x) = exp [(x^x).ln x] et x^x² = exp[x².ln x]
En prenant les logarithmes, tu obtiens donc l'équation :
(x^x).ln x = x².ln x
D'où ln x[x^x - x²] = 0
Je te laisse continuer.

etmec: je voulais dire $x^x-x^2=x^2(x^{x-2}-1)$ et il est facile de trouver les solutions de $x^2(x^{x-2}-1)$ =0 car :

$x^{x-2}-1=0$
$→xx−2=1\rightarrow x^{x-2}=1$

après tu passes au ln de chaque coté et tu trouves immédiatement la réponse

On a ln x[x^x - x²] = 0 car il faut factoriser par ln x c'est ça ?
On sait que ln (1) = 0 et que ln a = ln b ⇔ a = b d'où :
x(x^x - x²) = 1

Mais comment résoudre cette équation là ?

attention votre [x^x-x²] n'est pas dans le ln!!! mais en facteur devant! Cela revient donc au même que ma métode: il faut trouver l'ensemble des x pour lesquelles ce facteur est égal à 0

Citation
x^(x^x) = exp [(x^x).ln x] et x^x² = exp[x².ln x]
En prenant les logarithmes, tu obtiens donc l'équation :
(x^x).ln x = x².ln x
D'où ln x[x^x - x²] = 0
On a un produit nul.
Ou bien ln x = 0 d'où x = 1 ( solution triviale )
Ou bien x^x - x² = 0 d'où x^x = x² et tu recommences avec les exponentielles.

Je suis désolé mais je ne vois pas comment résoudre x^x = x².
Faut il seulement dire que x=2 ?

x = 2 est une solution "évidente" , mais il ne suffit pas de la citer : il faut dire comment on l'obtient.
Comme je t'ai dit, réutilise l'exponentielle :
x^x = x² ⇔ x.ln x = 2.lnx
On est ds le cas où ln x ≠ 0 ( le cas ln x = 0 a été vu précédemment ) , donc on obtient x = 2.

Les solutions sont donc x=1 et x = 2 seulement c'est bien ça ?

Merci de ton aide mathtous.

De rien.